22. 정적분(Definite Integrals)과 넓이(Areas)

함수의 그래프 아래 넓이를 어떻게 구할 수 있을까? 미적분에 관심이 있는 사람이라면 “넓이를 구하려면 적분을 해야 된다”는 것쯤은 들어본 적이 있을 것이다. 이번 글에서는 정적분을 정의하는데, 어떻게 정적분의 정의가 나왔냐…라고 물어본다면 그에 대한 답이 바로 맨 첫 문장의 질문이다. 함수의 그래프 아래 넓이를 어떤 방식으로 접근하여 그 정의가 나오는지 유의하며 글을 읽어 보도록 하자. 정적분의 … Read more

21. 역도함수(Antiderivatives)와 부정적분(Indefinite Integrals)

우리는 지금까지 스무 편의 글을 통해 함수의 극한과 연속, 미분으로 할 수 있는 것들을 알아보았다. 함수를 미분한다는 것은 기본적으로 접선의 기울기를 구한다는 뜻이며, 이를 조금 응용하면 미분으로 함수의 증가와 감소, 오목과 볼록에 대해서도 알아볼 수 있었고, 나아가 함수의 그래프까지 그릴 수 있었다. 이번 글부터는 적분에 대해서 알아본다. 적분은 미분의 역과정이라는 말을 들어본 적이 있을 것이다. … Read more

20. 함수의 그래프 그리기

우리는 저번 세 편의 글을 통해 함수의 그래프에서 나타나는 함수의 다양한 특징에 대해 알아보았다. 17편에서는 도함수를 통해 원함수의 증가와 감소, 그리고 극대와 극소가 되는 점이 어디인지를 알 수 있다는 점을 살펴보았고, 18편에서는 이계도함수를 통해 원함수의 오목, 볼록과 변곡점, 19편에서는 극한을 통해 함수의 점근선들을 그려 보았다. 이러한 특징들은 함수의 그래프가 어떤 형태를 띠고 있는지와 상당히 깊은 … Read more

19. 함수의 점근선(Asymptotes)

우리는 17편과 18편에서 도함수와 이계도함수가 원함수에 어떤 영향을 끼치는지를 알아보았다. 요약하자면 도함수는 함수의 증가/감소를 결정하고, 이계도함수는 함수의 오목과 볼록을 결정하였다. 그런데 지금까지 이렇게 살펴본 것들은 사실 모두 함수의 그래프를 그리기 위한 빌드업이다. 함수의 그래프를 잘 그리려면 몇 가지 디테일을 잡아야 하는데, 이들 중 하나가 바로 이번 글에서 살펴볼 점근선이다. 이번 글에서는 함수의 점근선을 수학적으로 어떻게 … Read more

18. 함수의 오목과 볼록(Concavity), 변곡점(Inflection Point)

함수의 오목과 볼록 함수가 증가하는 양상 아래 두 함수의 그래프를 비교해 보자. 이들은 모두 증가함수의 그래프이지만, 함수가 증가하는 양상이 조금 다르다. 왼쪽 함수는 처음에는 가파르게 증가했다가 나중에 완만해지지만, 오른쪽 함수는 반대로 처음에는 조금씩 증가했다가 나중에 증가 폭이 커진다. 감소함수의 그래프에서도 마찬가지이다. 이번에는 아래와 같은 두 감소함수의 그래프를 비교해 보자. 이들도 마찬가지로 감소하는 양상이 다르다. 왼쪽 … Read more

17. 함수의 증가와 감소, 일계도함수 판정법(First Derivative Test)

함수의 증가와 감소 정의 모두가 알다시피, 아래 함수의 그래프는 오른쪽으로 갈수록 위로 뻗는 우상향 형태의 곡선이다. $$ f(x)=x^3 $$ 한편, 아래 함수의 그래프는 오른쪽으로 갈수록 아래로 뻗는 우하향 형태의 그래프이다. $$ g(x)=\frac{1}{2^x} $$ 그래프가 우상향하는지 우하향하는지는 함수의 그래프에서 가장 중요한 특징 중 하나이다. 따라서 우리는 이들을 함수의 증가, 감소라는 용어로 따로 정의하여 부를 것이다. 함수가 … Read more

16. 로피탈의 정리(L’Hospital’s Rule)와 코시의 평균값 정리(Cauchy’s Mean Value Theorem)

이 극한값을 구해 보자. $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\sin x}{x^3} $$ 갑자기 웬 극한값이냐는 질문은 넣어 두고, 이를 어떻게 구할 수 있을지 생각해 보도록 하자. 쉽게 떠오르지 않을 건데, 우리가 삼각함수, 특히 사인함수의 극한에 관해 아는 식은 $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1 $$ 정도밖에 없기 때문이다. 놀랍게도 미분을 이용한다면 이 극한값을 구할 수 있다. 이번 글에서 살펴볼 로피탈의 정리는 미분을 … Read more

15. 평균값 정리(Mean Value Theorem)와 롤의 정리(Rolle’s Theorem)

평균값 정리는 앞으로 미분과 관련된 사실들 중 대부분을 만들어내는 가장 중심에 있는 정리라고 볼 수 있다. 이번 글에서는 평균값 정리의 특수한 형태인 롤의 정리를 살펴보고, 이를 이용하여 평균값 정리를 살펴보고 증명해볼 것이다. 롤의 정리 진술 및 직관적 의미 롤의 정리(Rolle’s theorem)는 아래와 같이 진술된다. \([a, b]\)에서 정의된 함수 \(f\)가 \([a, b]\)에서 연속이고, \((a, b)\)에서 미분가능하며 … Read more

14. 함수의 최대, 최소, 극대, 극소, 최대최소정리(Extreme Value Theorem)

우리는 7편부터 13편까지 7개의 글에 거쳐 도함수와 미분가능성에 대해 정의하고, 이를 이용해 다양한 함수의 도함수를 구해 보았다. 이번 글부터는 도함수로 할 수 있는 것들에 대해 이야기해 보려고 한다. 함수의 최대, 최소, 극대, 극소의 정의 도함수가 가장 많이 활용되는 곳이 함수의 최댓값이나 최솟값을 구하는 것이다. 이 글에서는 함수의 최대, 최소와 이에 따라 나오는 개념인 극대, 극소를 … Read more

13. 역함수 정리(Inverse Function Theorem)와 역삼각함수의 미분

우리는 이번 글에서 역삼각함수의 도함수를 구해 볼 건데, 사실 우리는 역삼각함수가 미분한지조차 확인을 해보지 않았다. 물론 전 글에 나온 역삼각함수의 그래프를 보면 직관적으로는 당연히 미분가능해 보이지만, 이를 엄밀하게 증명하는 것까지가 수학이 하는 일이다. 이번 글에서 살펴볼 정리는 역삼각함수가 미분가능하다는 것을 알려 주며, 그 도함수를 어떻게 계산할 수 있는지까지 알려 준다. 역함수 정리 진술 역함수 정리(inverse … Read more