15. 평균값 정리(Mean Value Theorem)와 롤의 정리(Rolle’s Theorem)

평균값 정리는 앞으로 미분과 관련된 사실들 중 대부분을 만들어내는 가장 중심에 있는 정리라고 볼 수 있다. 이번 글에서는 평균값 정리의 특수한 형태인 롤의 정리를 살펴보고, 이를 이용하여 평균값 정리를 살펴보고 증명해볼 것이다.

롤의 정리

진술 및 직관적 의미

롤의 정리(Rolle’s theorem)는 아래와 같이 진술된다.

\([a, b]\)에서 정의된 함수 \(f\)가 \([a, b]\)에서 연속이고, \((a, b)\)에서 미분가능하며 \(f(a)=f(b)\)이면

$$ f'(c)=0 $$

인 \(c\in(a, b)\)가 존재한다.

롤의 정리가 성립함을 나타낸 그림. \(f\)가 \([a, b]\)에서 연속, \((a, b)\)에서 미분가능이고, \(f(a)\)와 \(f(b)\)가 같으면 그래프를 어떻게 그려도 중간에 접선의 기울기가 0이 되는 그래프 위의 점이 존재한다.

위 그림과 같이 미분가능한 함수의 그래프에서 \(x=a\)일 때와 \(x=b\)일 때의 \(y\)좌표가 같다면 그래프를 어떻게 그려도 접선의 기울기가 0이 되는 그래프 위의 점이 존재할 것이다.

증명

이전 글에서 살펴보았던 극값과 미분계수에 관한 정리(극값을 가지면 미분계수가 0이다)와 최대최소정리를 이용한다. 경우를 총 세 가지로 나눈다.

  1. \(f\)가 \([a, b]\)에서 상수함수인 경우: 상수함수의 도함수는 0이므로 \(c\)를 \(a\)와 \(b\) 사이의 값으로 아무거나 잡으면 \(f'(c)=0\)이 된다.
  2. \(f(x)>f(a)\)인 \(x\in(a, b)\)가 존재하는 경우: 최대최소정리에 의해 최댓값 \(f(c)\)가 존재한다. 이때 \(f(x)>f(a)\)인 \(x\in(a, b)\)가 존재하므로 최댓값 \(f(c)\)는 \(f(a)\)보다는 크고, 따라서 \(c\neq a, c\neq b\)이다. 즉 \(f\)는 정의역 \([a, b]\)의 양 끝 점이 아닌 다른 점 \(c\)에서 최댓값을 가지므로, 이때 극대가 된다. \(f\)는 미분가능하므로, 극값을 가지는 \(c\)에서의 미분계수 $$f'(c)=0$$이 된다.
  3. \(f(x)<f(a)\)인 \(x\in(a, b)\)가 존재하는 경우: 최대최소정리에 의해 최솟값 \(f(c)\)가 존재한다. 마찬가지로 이 경우에 최솟값 \(f(c)\)는 \(f(a)\)보다 작으므로 \(c\neq a, c\neq b\)가 되고, \(f(c)\)는 극솟값이 된다. \(f\)는 미분가능하므로, 극값을 가지는 \(c\)에서의 미분계수 $$f'(c)=0$$이 된다.

아래는 케이스 1, 2, 3을 나타낸 그림이다. 그림에서도 확인할 수 있듯이 두 번째와 세 번째 케이스가 중복되는 경우가 있는데, 이때는 최솟값과 최댓값 중 하나를 잡고 그곳에서 미분계수가 0인 걸 보이면 된다.

롤의 정리를 증명하는 그림. \(f\)가 상수함수인 경우를 제외한다면 \(f\)가 최댓값 또는 최솟값을 가지는 점에서의 미분계수가 0이 되어 증명할 수 있다.

평균값 정리

진술 및 직관적 의미

평균값 정리(mean value theorem, MVT)는 롤의 정리를 확장한 것으로, \(f(a)=f(b)\)라는 조건이 붙지 않는다.

\([a, b]\)에서 정의된 함수 \(f\)가 \([a, b]\)에서 연속이고 \((a, b)\)에서 미분가능하면

$$ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

인 \(c\in(a, b)\)가 존재한다.

롤의 정리에서는 \(f(a)=f(b)\)일 때 그 가운데 접선의 기울기가 0이 되는 점이 존재했다면, 평균값 정리는 일반적인 상황에서 \(a\)와 \(b\) 사이에 접선의 기울기가 양 끝 점을 이은 선분과 같게 되는 점이 존재함을 말한다.

평균값 정리가 성립함을 나타낸 그림. \(f\)가 \([a, b]\)에서 연속이고 \((a, b)\)에서 미분가능하면 \(a\)와 \(b\) 사이에 접선의 기울기가 양 끝 점을 잇는 직선의 기울기와 같게 되는 점이 존재한다.

증명

위 그림에서 원래 함수(빨간색)와 양 끝점을 잇는 선분(검정색) 사이의 차이를 새로운 함수로 정의해 주고, 그 함수에서 롤의 정리를 사용하면 된다. 두 점 \((a, f(a))\), \((b, f(b))\)를 잇는 직선의 방정식은

$$ y=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a) $$

이므로, 새로운 함수 \(g(x)\)를 다음과 같이 정의해 주자.

$$ g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a), \qquad a\leq x\leq b $$

그러면 당연히 양 끝점에서의 함숫값은 0이 되어야 한다. 이를 확인해 보자.

$$ g(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)-f(a)=f(a)-f(a)=0 \\ g(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)-f(a)=f(b)-(f(b)-f(a))-f(a)=0 $$

또한, \(f\)가 \([a, b]\)에서 연속이고 \((a, b)\)에서 미분가능하므로 여기에서 (항상 연속이고 미분가능한) 일차함수를 빼 준 \(g\)는 역시 \([a, b]\)에서 연속이고 \((a, b)\)에서 미분가능하다. 따라서 \(g\)는 롤의 정리의 가정을 모두 만족한다. 이를 사용해 주면

$$ g'(c)=0 $$

을 만족하는 \(c\in(a, b)\)가 존재하게 되는데, 이때 미분 공식에 의해 \(g\)를 미분해주게 되면

$$ g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

이므로 이는

$$ f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 $$

을 만족하는 \(c\in(a, b)\)가 존재하게 된다는 말과 같다. 따라서 증명이 끝났다.

평균값 정리의 활용

도함수가 0인 함수

어떤 함수 \(f\)의 도함수가 항상 0이라고 하자. 이때 \(f\)는 어떤 성질을 만족할까? 직관적으로는 \(f\)의 그래프에서 접선의 기울기가 항상 0이므로 \(f\)의 그래프가 올라가거나 내려갈 수가 없고, 원래 함숫값을 항상 그대로 유지해야 해 상수함수가 될 것 같다. 실제로 이 때 \(f\)는 상수함수가 된다. 이를 정리로 나타내면 아래와 같다.

실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 \(f\)의 도함수가 항상 0이라면 \(f\)는 상수함수이다.

\(f(0)=k\)라 하면, 우리는 모든 실수 \(x\)에 대해서

$$f(x)=f(0)=k$$

임을 보이면 된다. \(x=0\)이라면 당연히 성립하므로 \(x\neq0\)이라고 하자.

만약 \(x>0\)이라면 구간 \([0, x]\)에서 평균값 정리를 사용해줄 수 있고, 그 결과

$$f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$

이 되는 0과 \(x\) 사이의 \(c\)가 존재하게 된다. 그런데 \(c\)가 무엇이든 간에 \(f'(c)=0\)이므로

$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0$$

이 되고, 따라서 이 경우 \(f(x)=f(0)\)이 된다.

\(x<0\)인 경우에도 반대로 구간 \([x, 0]\)에서 평균값 정리를 사용해주면

$$f'(d)=\frac{f(0)-f(x)}{0-x}$$

되는 \(x\)와 0 사이의 \(d\)가 존재하게 되는데, \(f'(d)=0\)이므로 \(f(0)=f(x)\)가 된다.

사실 위 증명에서 \(f(0)=k\)라고 놓았던 부분을 임의의 실수 \(a\)에 대해 \(f(a)=k\)로 바꾸어주어도 된다. 케이스를 \(x=a, x>a, x<a\)일 때로 나누어 주면 똑같은 방법으로 \(f(x)=f(a)\)임을 보일 수 있기 때문이다. 위 증명에서는 편의를 위해 0을 기준점으로 잡은 것이다.

활용

두 함수 \(f\)와 \(g\)의 도함수가 같다면 이 둘은 항상 똑같은 상수만큼 차이가 나게 된다. 즉 \(g\)의 그래프는 \(f\)의 그래프를 \(y\)축 방향으로 적당히 평행이동한 것이다. 이를 정리로 나타내면 아래와 같다.

실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 \(f\)와 \(g\)에 대해, 모든 실수 \(x\)에 대해

$$ f'(x)=g'(x) $$

를 만족한다면 모든 실수 \(x\)에 대해

$$ g(x)=f(x)+c $$

를 만족하는 상수 \(c\)가 존재한다.

이는 위의 “도함수가 0인 함수는 상수함수”라는 정리를 아주 살짝 응용한 것으로, 이를 이용해 증명할 수 있다. 새로운 함수 \(h\)를

$$ h(x)=g(x)-f(x)\tag{1} $$

라고 정의하자. 그러면 가정에 의해 모든 실수 \(x\)에 대해

$$ h'(x)=g'(x)-f'(x)=0 $$

을 만족하므로 \(h\)는 상수함수가 된다. 즉 모든 실수 \(x\)에 대해

$$ h(x)=c $$

를 만족하는 상수 \(c\)가 존재하게 되고, (1)을 다시 대입해 주면 이는 모든 실수 \(x\)에 대해

$$ g(x)-f(x)=c $$

인 상수 \(c\)가 존재하게 된다는 말로 바뀐다.

경마장 원리

평균값 정리를 이용하여 증명할 수 있는 또다른 정리로 경마장 원리(racetrack principle)라는 게 있다. 경마장에서 두 마리의 말 \(A\)와 \(B\)가 경주를 하고 있는데, \(A\)의 속력이 항상 \(B\)보다 빠르다고 가정해보자. 누가 먼저 결승점에 도달할까? 당연히 \(A\)이다. 같은 시간 동안 \(A\)가 간 거리가 \(B\)보다 멀기 때문이다. 이러한 원리를 수학적으로 나타낸 것이 바로 경마장 원리이다.

시간 0부터 \(t\)까지 \(A\)가 간 거리를 \(f(t)\), \(B\)가 간 거리를 \(g(t)\)라고 하자. 그러면 시간 \(t\)에서 \(A\)와 \(B\)의 순간 속력은 각각 \(f'(t)\), \(g'(t)\)가 된다. 따라서 \(A\)의 속력이 \(B\)보다 빠르다는 말은 모든 \(t\)에 대해

$$ f'(t)>g'(t) $$

만족한다는 뜻이고, 같은 시간 동안 \(A\)가 간 거리가 \(B\)보다 멀다는 말은 모든 \(t\)에 대해

$$ f(t)>g(t) $$

라는 이야기이다. 일반적으로 경마장 원리는 다음과 같이 진술된다.

두 미분가능한 함수 \(f, g\)가 \(f(0)=g(0)\)과 모든 \(x>0\)에 대해

$$ f'(x)>g'(x) $$

을 만족한다면 모든 \(x>0\)에 대해

$$ f(x)>g(x) $$

를 만족한다.

이 정리는

  • \(f(0)=g(0)\)을 \(f(0)\geq g(0)\)으로 바꾸어도
  • 모든 부등호 \(>\)를 \(\geq\)로 바꾸어도
  • 기준점 0을 임의의 실수 \(a\)로 바꾸어도

그대로 성립한다.

증명은 역시나 평균값 정리를 사용한다. 새로운 함수 \(h\)를

$$ h(x)=f(x)-g(x) $$

라고 하면 가정에 의해 모든 \(x>0\)에 대해

$$ h'(x)=f'(x)-g'(x)>0\tag{2} $$

을 만족한다. 따라서 임의의 \(x>0\)에 대해, \([0, x]\)에서 평균값 정리를 사용해주면

$$ h'(c)=\frac{h(x)-h(0)}{x-0} $$

을 만족하는 \(c\in(0, x)\)가 존재하게 되고, (2)에 의해

$$ \frac{h(x)-h(0)}{x}>0 $$

가 된다. 이때 \(x>0\)이므로

$$ \frac{h(x)-h(0)}{x}>0\Longrightarrow h(x)-h(0)>0\Longrightarrow h(x)>h(0)\tag{3} $$

이 되고,

$$ h(x)=f(x)-g(x), \qquad h(0)=f(0)-g(0)=0 $$

이므로 식 (3)은

$$ f(x)-g(x)>0 $$

이 되어 증명할 수 있다.

예제

\(x>0\)에 대해 다음 부등식

$$ e^x>1+x $$

가 성립함을 보여 보자. \(f(x)=e^x, g(x)=1+x\)라 하면

  • \(f, g\)는 미분가능
  • \(f(0)=1=g(0)\)

을 만족하고, \(f'(x)=e^x, g'(x)=1\)이므로 \(x>0\)일 때

$$ f'(x)=e^x>e^0=1=g'(x) $$

를 만족한다. 따라서 경마장 원리를 적용할 수 있고, 이를 적용한다면 \(x>0\)에 대해

$$ e^x>1+x $$

가 성립한다는 사실이 보여진다.

\(y=e^x\)의 그래프와 \(y=1+x\)의 그래프. 경마장 원리를 이용하여 \(x>0\)일 때 \(e^x>1+x\)임을 보일 수 있다.

Leave a Comment