7. 미분계수, 도함수(Derivative)와 미분가능성(Differentiability)

미분계수

6장에서 함수의 그래프가 끊어져 있느냐 연결되어 있느냐에 대한 개념을 함수의 연속/불연속으로 수학적으로 정의하였다. 미적분에서 그래프가 끊어져 있는지 연결되어 있는지만큼 중요한 개념이 바로 접선의 기울기이다. 우리는 앞으로 접선의 기울기 하나로 함수의 그래프를 그리고 분석할 것이다. 따라서 이 글에서는 접선의 기울기를 수학적으로 어떻게 나타내고 구할 수 있는지에 대해 알아볼 것이다.

예제: 접선의 기울기 구하기

가령 \(x=-1\)에서 함수 \(y=f(x)=-x^2\)의 그래프의 접선의 기울기를 구한다고 해보자.

\(x=-1\)에서 함수 \(y=-x^2\)의 접선의 기울기를 구하는 과정. \(Q\)가 \(P\)에 한없이 가까이 오면 \(P\)와 \(Q\)를 지나는 직선은 접선에 한없이 가까워질 것이다.

접선이 만들어지는 과정을 위 그림과 같이 생각해보자. \(P(-1, f(-1))\)(검정색 점)를 그래프 위의 고정된 점으로 놓고, \(Q\)(빨간색 점)를 그래프 위의 다른 점으로 놓으면 \(P\)와 \(Q\)를 지나는 직선은 유일해진다. 이 상태에서 \(Q\)를 점점 \(P\)에 가까이 하면 직선 \(PQ\)(검정색 직선)는 점점 \(P\)에서의 접선(파란색 직선)에 가까워질 것이다. 따라서 \(y=f(x)\)의 그래프 위의 점 \(P\)에서의 접선은 \(Q\)가 \(P\)에 한없이 가까워질 때 직선 \(PQ\)의 극한으로 생각할 수 있다.

따라서 \(P\)에서의 접선의 기울기는 점 \(Q\)가 그래프를 따라 \(P\)에 가까워질 때 직선 \(PQ\)의 기울기의 극한으로 생각할 수 있다. 점 \(Q\)의 좌표가 \((x, f(x))(\neq(-1, -1))\)일 때 \(PQ\)의 기울기는 다음과 같다.

$$ m(x)=\frac{f(x)-(-1)}{x-(-1)}=\frac{-x^2+1}{x+1}=1-x $$

\(Q\)가 \(P\)로 간다는 말은 \(x\)가 \(-1\)로 간다는 말과 동치이며, 따라서 접선의 기울기는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$ m=\lim_{x\rightarrow-1}m(x)=\lim_{x\rightarrow-1}(1-x)=2 $$

정의

위의 예제를 조금 더 일반적으로 생각해보자. 일반적인 함수 \(f(x)\)의 그래프 위의 점 \(P(a,f(a))\)에서 접선의 기울기는 그래프 위의 다른 점 \(Q(x,f(x))\)이 \(P\)에 가까워질 때, 즉 \(x\)가 \(a\)에 가까워질 때 직선 \(PQ\)의 기울기의 극한으로 생각할 수 있다. \(PQ\)의 기울기는

$$m(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

이므로 \(P(a,f(a))\)에서의 접선의 기울기를 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$m=\lim_{x\rightarrow a}m(x)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\tag{1}$$

식 (1)에서 \(h=x-a\)라고 하면 \(x\rightarrow a\)일 때 \(h\rightarrow0\)이므로 아래와 같이 쓸 수도 있다.

$$f'(a)=\lim_{h\rightarrow a}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\tag{2}$$

이 극한이 존재한다면 이를 \(a\)에서 \(f\)의 미분계수(derivative of \(f\) at \(a\))라고 정의하고, 기호로는 아래와 같이 쓴다.

$$f'(a)=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a}=\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=a}=\left.\frac{d}{dx}f(x)\right|_{x=a}=Df(a)=D_xf(a)$$

종류가 엄청 다양한데, 첫 번째 기호를 가장 많이 쓰고 네 번째까지는 외워두면 좋다. 네 번째 기호는 보통 \(f(x)\)가 구체적으로 주어진 경우에 많이 쓰인다. 예를 들어 “함수 \(-x^2\)의 \(x=-1\)에서의 미분계수는 2이다”를 기호로 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$\left.\frac{d}{dx}(-x^2)\right|_{x=-1}=2$$

접선의 방정식

지금까지 함수 \(y=f(x)\)의 그래프 위의 점 \(P(a, f(a))\)에서의 접선의 기울기는 미분계수

$$ f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

임을 살펴보았다. 이때 \(P\)에서의 접선은 \(P\)를 지나고 기울기가 \(f'(a)\)인 직선이므로, 그 방정식은

$$ y-f(a)=f'(a)(x-a) $$

가 된다.

다양한 함수의 미분계수 구해보기

예제 1

\(g(x)=\sqrt{x}\)라고 할 때, \(g'(3)\)을 구해보자. 우선 정의에 의해

$$ g'(3)=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3} $$

이다. 분모가 0인 형태이므로 이 상태로는 극한의 성질을 이용할 수 없다. 따라서 분자를 \(x-3\)으로 만들기 위해 유리화해주어야 한다. 분자와 분모에 \(\sqrt{x}+\sqrt{3}\)을 곱하자.

$$ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}=\frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} $$

이제 이 상태로 \(x=3\)을 대입하면 이 극한을 구해줄 수 있다.

$$ g'(3)=\lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}} $$

더 나아가, \(y=g(x)\) 위의 점 \(3, \sqrt{3}\)에서의 접선의 방정식은

$$ y-\sqrt{3}=\frac{1}{2\sqrt{3}}(x-3)\Longleftrightarrow y=\frac{1}{2\sqrt{3}}x+\frac{\sqrt{3}}{2} $$

이 된다.

\(y=\sqrt{x}\)의 그래프와 \(3, \sqrt{3}\)에서의 접선. 접선의 기울기는 \(1/2\sqrt{3}\)이다.

예제 2

\(h(x)=x^4\)라고 할 때, \(h'(-2)\)를 구해보자. 정의에 의해

$$ h'(-2)=\lim_{x\rightarrow-2}\frac{x^4-16}{x+2} $$

이때 분자는 아래와 같이 합차공식을 두 번 사용해 인수분해할 수 있다.

$$ x^4-16=(x^2+4)(x^2-4)=(x^2+4)(x+2)(x-2) $$

따라서

$$ h'(-2)=\lim_{x\rightarrow-2}\frac{(x^2+4)(x+2)(x-2)}{x+2}=\lim_{x\rightarrow-2}(x^2+4)(x-2)=-32 $$

이때 접선의 방정식은

$$ y-16=-32(x+2)\Longleftrightarrow y=-32x-48 $$

이 된다.

\(y=x^4\)의 그래프와 \((-2, 16)\)에서의 접선. 접선의 기울기는 \(-32\)이다.

미분가능성

정의

미분계수도 극한이기 때문에 발산하거나 진동하는 등 존재하지 않을 수도 있다. 미적분학에서는 이 극한이 존재하는 점과 존재하지 않는 점을 따로 구분한다. \(f'(a)\)가 존재할 때, \(a\)는 \(f(x)\)가 미분가능한 점이라고 부른다.

\(x=a\)에서 함수 \(f(x)\)의 미분계수

$$ f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

가 존재할 때 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 미분가능(differentiable)하다고 한다.

6장에서 연속성을 논할 때와 마찬가지로 \(f(x)\)가 어떤 구간 \(I\)의 모든 점에서 미분가능하면 \(f(x)\)는 \(I\)에서 미분가능하다고 하고, 정의역의 모든 점에서 미분가능하면 \(f(x)\)는 미분가능한 함수라고 한다.

반대로 \(f'(a)\)가 존재하지 않는 점 \(a\)를 미분불가능한 점이라고 한다

\(x=a\)에서 함수 \(f(x)\)의 미분계수

$$ f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

가 존재하지 않을 때 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 미분불가능(not differentiable)하다고 한다.

직관적 의미

함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능하다는 것은 접선의 기울기가 존재한다는 이야기이다. 주의할 점은, 접선이 존재한다고 항상 미분가능하지는 않다는 것이다.

다음 함수를 살펴보자.

$$ y=i(x)=\sqrt[3]{x} $$

\(y=\sqrt[3]{x}\)의 그래프와 원점에서의 접선. 원점에서의 접선은 \(y\)축이 될 것이다.

위 그림에서 보다시피 원점에서의 접선은 \(y\)축, 즉 수직선이므로 접선의 기울기는 존재하지 않는다. 실제로 \(x=0\)에서 \(i(x)\) 그래프의 접선의 기울기를 구해 보면

$$ i'(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[3]{x}-0}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=\infty $$

으로 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다. 반면 \(x=0\)이 아닌 다른 점에서는 접선이 수직선이 아니므로 접선의 기울기가 항상 존재한다. \(x=a\neq0\)이라고 하고 기울기를 직접 구해보면

$$ \begin{align} i'(a)&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a}\\&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a}\cdot\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xa}+\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xa}+\sqrt[3]{a^2}}\\&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{x-a}{(x-a)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xa}+\sqrt[3]{a^2})}\\&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xa}+\sqrt[3]{a^2})}\\&=\frac{1}{3\sqrt[3]{a^2}}\end{align} $$

으로 존재한다. 일반적으로 다음과 같이 정리할 수 있다.

함수 \(f(x)\)와 실수 \(a\)에 대해, 다음 명제는 모두 동치이다.

  1. \(f'(a)\)가 존재한다.
  2. \(x=a\)에서 \(y=f(x)\)의 그래프의 접선의 기울기가 (실수로) 존재한다.
  3. \(x=a\)에서 \(y=f(x)\)의 그래프의 접선이 존재하고 이는 수직선이 아니다.

미분가능성과 연속성

미분가능한 함수는 연속

미분가능한 함수는 연속이다. 이를 조금 더 구체적으로 적어 보면 아래와 같다.

함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능하면 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 연속이다.

증명은 아래와 같이 쉽게 할 수 있다. \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능하다는 것은

$$ f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\tag{4} $$

가 존재한다는 의미이고, 우리는 이를 이용해서

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) $$

임을 보이면 된다. 우선 식 (4)에서

$$ \lim_{x\rightarrow a}(f(x)-f(a))=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)=f'(a)\cdot0=0\tag{3} $$

임을 알 수 있다. (4)의 마지막 등호는 극한의 성질에 의해 성립한다. 극한의 성질을 한 번 더 사용하면

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}[(f(x)-f(a))+f(a)]=0+f(a)=f(a) $$

을 얻는다.

역은 성립하지 않는다

그렇다면 반대로 연속인 함수는 미분가능할까? 답은 아니다. 다음 함수를 예시로 들어보자.

$$ j(x)=|x| $$

\(j(x)\)는 \(x=0\)에서 연속이다. 아래 그래프를 통해서도 확인할 수 있고, 엡실론-델타 논법을 이용해 증명할 수도 있다.

\(y=|x|\)의 그래프. 이 함수는 \(x=0\)에서 연속이지만 미분가능하지는 않다.

하지만 \(j(x)\)는 \(x=0\)에서 미분가능하지 않다. \(x=0\)에서의 미분계수는

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{|x|-0}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{|x|}{x}\tag{5} $$

와 같이 쓸 수 있다. 그런데 \(x=0\)에서의 좌극한은, \(x<0\)일 때이므로 \(|x|=-x\)가 되고, 따라서

$$ \lim_{x\rightarrow0-}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow0-}\frac{-x}{x}=-1 $$

이다. 반대로 우극한은, \(x>0\)일 때이므로 \(|x|=x\)가 되고, 따라서

$$ \lim_{x\rightarrow0+}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow0+}\frac{x}{x}=1 $$

즉 좌극한과 우극한이 다르므로 (5)의 극한이 존재하지 않고, 따라서 \(j(x)\)는 \(x=0\)에서 미분불가능하다.

직관적 의미

6장에서 연속의 직관적인 의미를 그래프가 끊기지 않는 것으로 설명하였다. 함수가 미분가능하다는 의미는 직관적으로 그래프가 끊기지 않음과 더불어 꺾이는 점 없이 부드럽게 이어져야 한다는 것이다. 위 \(y=j(x)=|x|\)의 그래프를 보면, 그래프가 꺾이는 점은 원점뿐이다. \(j(x)\)는 실제로 \(x=0\)에서 미분불가능하며 나머지 점에서는 다 미분가능하다.

도함수

다항식 \(k(x)=x^2\)는 실수 전체에서 미분가능한 함수이며, \(k'(a)\)는 아래와 같다.

$$ k'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^2-a^2}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}(x+a)=2a $$

이때 \(k'(a)=2a\)에서 \(a\)를 \(x\)로 바꾸고, 이를 \(x\)에 대한 새로운 함수로 생각할 수 있을 것이다.

$$ k'(x)=2x $$

이때 함숫값 \(k'(x)\)는 점 \((x, k(x))\)에서 \(y=k(x)\)의 그래프의 접선의 기울기를 나타낸다.

\(y=k(x)\)의 그래프와 도함수 \(y=k'(x)\)의 그래프. 도함수의 함숫값은 해당 점에서 원래 함수의 그래프의 접선의 기울기를 나타낸다.

위 그림은 \(y=k(x)\)(빨간색)의 그래프와 \(y=k'(x)\)(파란색)의 그래프를 나타낸 것이다. 예를 들어, \(x=0\)인 점에서 \(k'(x)=0\)이므로 빨간색 그래프의 접선의 기울기는 0이 되고, \(x\)가 증가할수록 \(k'(x)\)가 증가하므로 빨간색 그래프의 접선의 기울기도 증가함을 알 수 있다.

이렇게 원 함수가 미분가능한 모든 점들에 대해 접선의 기울기를 함숫값으로 부여한 함수를 도함수(derivative)라고 한다. 함수 \(f(x)\)의 도함수의 정의는 식 (1), (2)에서 \(a\)만 \(x\)로 바꾼 것으로, 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$ f'(x)=\lim_{y\rightarrow x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

위에서 나왔던 식 (1), (2)와 비교해 보아라.

$$ f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

기호로는 아래와 같이 쓴다.

$$ f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=Df(x)=D_xf(x) $$

고계도함수

\(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)도 어쨌든 \(x\)의 함수이므로, \(f'(x)\)가 미분가능한지에 대해서도 논할 수 있을 것이다. 만약 \(f'(x)\)가 미분가능하다면 \(f'(x)\)의 도함수를

$$ (f’)'(x)=\lim_{y\rightarrow x}\frac{f'(y)-f'(x)}{y-x}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h} $$

와 같이 정의할 수 있을 것이고, 이를 \(f\)의 이계도함수(second derivative)라고 한다. 기호로는 아래와 같이 나타낸다.

$$ f”(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2f}{dx^2}=\frac{d^2}{dx^2}f(x) $$

우리는 똑같은 작업을 \(f”(x)\)에 대해서도 해줄 수 있으며, \(f”(x)\)를 한 번 더 미분한 함수를 삼계도함수(third derivative)라고 부르는 것이 자연스러울 것이다. 이는 \(f(x)\)를 총 세 번 미분한 함수이며, 기호는 아래와 같다.

$$ f”'(x)=\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{d^3f}{dx^3}=\frac{d^3}{dx^3}f(x) $$

사계도함수(fourth derivative)부터는 맨 첫 번째 기호에서 ‘(prime)을 사용하지 않고 위에 미분한 횟수를 소괄호 안에 숫자로 적어 넣는다.

$$ f^{(4)}(x)=\frac{d^4y}{dx^4}=\frac{d^4f}{dx^4}=\frac{d^4}{dx^4}f(x) $$

$$ f^{(n)}(x)=\frac{d^ny}{dx^n}=\frac{d^nf}{dx^n}=\frac{d^n}{dx^n}f(x) $$

예를 들어, 위의 함수 \(y=k(x)=x^2\)에 대하여 \(k'(x)=2x\)이므로, \(k(x)\)의 이계도함수는

$$ k”(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{k'(x+h)-k'(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{2(x+h)-2x}{h}=2 $$

가 되고, 이를 한 번 더 미분하면

$$ k”'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{k”(x+h)-k”(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{2-2}{h}=0 $$

이 된다. 이때부터는 아무리 미분해도 계속 0이 될 것이다.

$$ x^2\rightarrow2x\rightarrow2\rightarrow0\rightarrow0\rightarrow\cdots $$

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