8. 미분 공식(Differentiation Formulas)

가령 우리가 아래 함수의 도함수를 알고 싶다고 해 보자.

$$ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $$

도함수의 정의에 의해

$$ f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{[(x+h)/\sqrt{(x+h)^2+1}]-[x/\sqrt{x^2+1}]}{h} $$

가 되는데, 딱 봐도 극한을 계산하기 너무 복잡하고 어려워 보인다. 어찌저찌 이 극한을 계산할 수는 있겠지만, 우리가 앞으로 접할 모든 함수에 대해서 극한으로 도함수를 구하자니 너무 비효율적인 계산이 될 게 뻔하다. 따라서 다양한 함수를 빠르게 미분하기 위해서 많이 쓰이는 몇 가지 기본 함수에 대한 미분 결과를 가져다 쓸 수 있는 공식으로 미리 만들어 놓는 것이 필요하다.

이 글에서는 다양한 함수의 미분을 쉽게 할 수 있도록 여러 가지 미분 공식(differentiation formula)에 대해 알아볼 것이다.

함수의 사칙연산과 미분 공식

주어진 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)로부터 새로운 함수를 만드는 가장 기본적인 방법은 \(f\)와 \(g\)를 더하고, 빼고, 곱하고, 나누는 것이다. 이에 따라 함수의 사칙연산과 상수곱을 다음과 같이 정의하고, 이들 함수를 미분하면 어떻게 되는지 알아보도록 하자.

두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)와 상수 \(c\)에 대해, \(f\)와 \(g\)의 \(f+g\), \(f-g\), \(fg\), \(f/g\), 상수곱 \(cf\)를

  • \((f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)\)
  • \((cf)(x)=c\cdot f(x)\)
  • \((fg)(x)=f(x)g(x)\)
  • \(\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)

와 같이 정의한다. 각 함수의 정의역은 우변이 정의되는 실수들의 집합이다.

합의 미분법, 차의 미분법

함수의 합과 차의 도함수에 대해 다음이 성립한다.

\(f\)와 \(g\)가 미분가능할 때 \(f\pm g\)도 미분가능하고,

$$ (f\pm g)'(x)=f'(x)\pm g'(x) $$

즉 함수의 합/차의 도함수는 각각을 미분한 것의 합/차이다. 이를 아래와 같이 나타낼 수도 있다.

$$ \frac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)]=\frac{d}{dx}f(x)\pm\frac{d}{dx}g(x) $$

증명은 도함수의 정의를 이용하여 간단하게 할 수 있다. 합에 대해서만 증명해 보자.

$$ \begin{align}(f+g)'(x)&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(f+g)(x+h)-(f+g)(x)}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\end{align} $$

여기에서 \(f\)와 \(g\)가 미분가능하므로

$$ f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}, \qquad g'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$

가 존재하고, 극한의 성질에 의해

$$ (f+g)'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)=f'(x)+g'(x) $$

가 된다.

상수곱 미분법

함수의 상수곱의 도함수에 대해 다음이 성립한다.

\(f\)가 미분가능할 때 상수 \(c\)에 대하여 \(cf\)도 미분가능하고

$$ (cf)'(x)=c\cdot f'(x) $$

아래와 같이 나타낼 수도 있다.

$$ \frac{d}{dx}[cf(x)]=c\frac{d}{dx}f(x) $$

증명은 역시 간단하다. 우선 도함수의 정의에 의해

$$ \begin{align}(cf)'(x)&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(cf)(x+h)-(cf)(x)}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow0}c\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{align} $$

이때 \(f\)가 미분가능하므로

$$ f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

가 존재하고, 극한의 성질에 의해

$$ (cf)'(x)=\lim_{h\rightarrow0}c\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=c\cdot f'(x) $$

미분의 선형성

우리가 지금까지 살펴본 성질들에 의해, 상수 \(a\)와 \(b\), 두 함수 \(f\)와 \(g\)에 대해

$$ (af+bg)’=(af)’+(bg)’=af’+bg’ $$

이 된다. 즉 미분은 상수곱과 덧셈 사이를 자유자재로 왔다갔다 할 수 있으며, 이를 미분의 선형성(linearity of differentiation)이라고 한다. 이를 다른 표기법으로 나타내면 아래와 같다.

$$ \frac{d}{dx}[af(x)+bg(x)]=a\frac{d}{dx}f(x)+b\frac{d}{dx}g(x) $$

미분의 선형성은 세 개 이상의 함수에 대해서도 적용된다. 예를 들어 상수 \(a, b, c\)와 세 함수 \(f, g, h\)에 대해서

$$ (af+bg+ch)’=((af+bg)+ch)’=(af+bg)’+ch’=af’+bg’+ch’ $$

가 성립한다. 두 번째와 세 번째 등호는 각각 함수 두 개짜리 미분의 선형성에 의해 성립한다.

곱의 미분법

지금까지의 결과를 살펴본다면 \((fg)'(x)=f'(x)g'(x)\)가 될 것이라고 생각할 수 있겠지만, 곱과 몫에 대한 미분 공식은 조금 다르게 나온다. 우선 함수의 곱의 도함수는 다음과 같다.

\(f\)와 \(g\)가 미분가능할 때 \(fg\)도 미분가능하고,

$$ (fg)'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x) $$

아래와 같이 나타낼 수도 있다.

$$ \frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)\frac{d}{dx}g(x)+g(x)\frac{d}{dx}f(x) $$

증명은 조금 까다로울 수 있다. 우선 우리에게 주어진 것은

$$ f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}, \qquad g'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\tag{1} $$

가 존재한다는 것이다. 따라서 우리가 구하는 식

$$ (fg)'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(fg)(x+h)-(fg)(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} $$

과 (1) 사이의 연결고리를 만들어야 한다. 이는 아래와 같이 분자에 \(f(x+h)g(x)\)를 빼고 더해줌으로써 만들 수 있다.

$$ \begin{align}&\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\&=\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\\&=f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)\end{align} $$

이때 \(\displaystyle f(x+h), \frac{g(x+h)-g(x)}{h}, \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, g(x)\)는 \(h\rightarrow0\)일 때 각각 \(f(x), g'(x), f'(x), g(x)\)로 가므로, 극한의 성질에 의해

$$ \begin{align}(fg)'(x)&=\lim_{h\rightarrow0}\left[f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)\right]\\&=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)\end{align} $$

가 된다.

몫의 미분법

함수의 몫의 도함수는 그 형태가 곱의 도함수보다도 복잡하다.

\(f\)와 \(g\)가 미분가능하고, \(g(x)\neq0\)일 때 \(fg\)도 미분가능하고,

$$ \left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $$

아래와 같이 나타낼 수도 있다.

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{g(x)\frac{d}{dx}f(x)-f(x)\frac{d}{dx}g(x)}{[g(x)]^2} $$

공식을 외울 때 가장 헷갈릴만한 것은 분자가 \(f’g-fg’\)이냐 \(fg’-f’g\)이냐인데, 원래 분자를 미분한 게 (+)이다.

$$ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot\frac{1}{g(x)} $$

이므로, \(1/g(x)\)의 도함수만 구해주면 곱의 미분법을 이용하여 공식을 유도할 수 있을 것이다. 그러므로 \(1/g(x)\)의 도함수를 구해보자.

$$ \left(\frac{1}{g(x)}\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{[1/g(x+h)]-[1/g(x)]}{h} $$

우선 이 상태로는 아무것도 안 되니까 번분수를 없애기 위해 분자와 분모에 \(g(x+h)g(x)\)를 곱해보자.

$$ \lim_{h\rightarrow0}\frac{[1/g(x+h)]-[1/g(x)]}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x)-g(x+h)}{hg(x+h)g(x)} $$

우리는 \(\displaystyle g'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\)가 존재한다는 사실을 알기 때문에

$$ \begin{align}\left(\frac{1}{g(x)}\right)&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x)-g(x+h)}{hg(x+h)g(x)}\\&=\lim_{h\rightarrow0}\left[-\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot\frac{1}{g(x+h)g(x)}\right]\\&=-g'(x)\cdot\frac{1}{g(x+0)g(x)}\\&=-\frac{g'(x)}{[g(x)]^2}\end{align} $$

임을 알 수 있다. 따라서

$$ \begin{align}\left(\frac{f}{g}\right)'(x)&=\left(f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}\right)'(x)\\&=f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)}+f(x)\left(\frac{1}{g(x)}\right)’\\&=\frac{f'(x)}{g(x)}-f(x)\cdot\frac{g'(x)}{[g(x)]^2}\\&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\end{align} $$

이다.

상수함수의 도함수

상수함수의 도함수는 0이다. 즉,

$$ \frac{d}{dx}c=0 $$

이는 아래와 같이 도함수의 정의에 의해 자명하다.

$$ \frac{d}{dx}c=\lim_{h\rightarrow0}\frac{c-c}{h}=0 $$

이는 직관적으로도 확인할 수 있는데 상수함수의 그래프는 수평선이기 때문에 어느 점에서나 기울기가 0일 것이다.

\(x^n\)의 도함수

우리가 미적분에서 접하는 여러 가지 함수들 중 가장 흔히 접할 수 있는 함수가 바로

$$ g(x)=x^n\qquad(n\in\mathbb{R}) $$

꼴의 함수이다. \(n\)이 자연수라면 \(g(x)\)는 멱함수(power function)가, \(n\)이 음의 정수라면 유리함수(rational function)가, 정수가 아니라면 무리함수(irrational function)가 된다. 일반적으로 \(g(x)\)의 도함수는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\(n\)이 0이 아닌 실수일 때, 함수 \(g(x)=x^n\)의 도함수는

$$ g'(x)=nx^{n-1} $$

이는 추후 배울 로그미분법(logarithmic differentiation)을 통해 증명할 수 있다. 이 글에서는 \(n\)이 0이 아닌 정수인 경우에 한해서만 증명해 보려고 한다.

\(n\)이 자연수인 경우의 증명

인수분해 공식

$$ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})\tag{2} $$

을 사용한다. 우선 도함수의 정의를 사용하면

$$ g'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\tag{3} $$

인데, 여기서 (2)에 의해

$$ (x+h)^n-x^n=h\left[(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\cdots+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\right] $$

이 되고, 이를 (3)에 대입하면 \(h\)가 약분되어

$$ \begin{align}g'(x)&=\lim_{h\rightarrow0}\left[(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\cdots+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\right]\\&=(x+0)^{n-1}+(x+0)^{n-2}x+\cdots+(x+0)x^{n-2}+x^{n-1}\\&=nx^{n-1}\end{align} $$

이 된다.

\(n\)이 음의 정수인 경우의 증명

\(m=-n\)이라고 하면 \(g(x)=x^n=1/x^{-n}=1/x^m\)이므로, 몫의 미분법에 의해

$$ g'(x)=\left(\frac{1}{x^m}\right)’=\frac{(1)’x^m-1\cdot(x^m)’}{(x^m)^2}=-\frac{(x^m)’}{x^{2m}} $$

이 되고, \(m\)은 자연수이므로 바로 위에서 증명한 사실에 의해 \((x^m)’=mx^{m-1}\)이므로

$$ g'(x)=-\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}}=-\frac{m}{x^{m+1}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1} $$

이다.

예제

예제 1

다항함수 \(h(x)=x^4-3x^2+8x-3\)을 미분해 보자. 미분의 선형성에 의해

$$ \begin{align}h'(x)&=\frac{d}{dx}(x^4-3x^2+8x-3)\\&=\frac{d}{dx}x^4-3\frac{d}{dx}x^2+8\frac{d}{dx}x-\frac{d}{dx}3\end{align} $$

이 되고, 여기에서 \(x^n\)의 도함수와 상수함수의 도함수 공식을 써 주면

$$ h'(x)=4x^3-3\cdot2x+8\cdot1-0=4x^3-6x+8 $$

이 된다.

예제 2

이번에는 다음 함수

$$ i(x)=\frac{x^2-3x+1}{x^3} $$

의 도함수를 구해 보자. 몫의 미분법을 사용해 주면

$$ \begin{align}i'(x)&=\frac{x^3\frac{d}{dx}(x^2-3x+1)-(x^2-3x+1)\frac{d}{dx}x^3}{x^6}\\&=\frac{x^3(2x-3)-(x^2-3x+1)\cdot3x^2}{x^6}\\&=\frac{-x^4+6x^3-3x^2}{x^6}\\&=\frac{-x^2+6x-3}{x^4}\end{align} $$

가 된다.

계산이 많이 복잡한데… 아래와 같이 분자를 다 나눠 주고 \(x^n\)의 도함수 공식을 써 주면 훨씬 간단하게 풀 수 있다.

$$ \begin{align}i(x)&=\frac{x^2}{x^3}-\frac{3x}{x^3}+\frac{1}{x^3}\\&=x^{-1}-3x^{-2}+x^{-3}\\i'(x)&=\frac{d}{dx}(x^{-1}-3x^{-2}+x^{-3})\\&=\frac{d}{dx}x^{-1}-3\frac{d}{dx}x^{-2}+\frac{d}{dx}x^{-3}\\&=-x^{-2}+6x^{-3}-3x^{-4}\\&=\frac{-x^2+6x-3}{x^4}\end{align}\tag{4} $$

여기에서는 풀이가 훨씬 길게 나왔는데, 실제로 풀어 보면 아래의 방법이 더 편하다는 것을 알 수 있을 것이다. 미적분을 공부하다 보면 별의별 괴랄한 계산이 많이 등장하게 되는데, 이렇게 빠르게 계산하는 방법을 알고 있으면 많은 도움이 된다.

예제 3

함수

$$ j(x)=\frac{\sqrt[3]{x^2}-x^3}{x\sqrt{x}} $$

의 도함수를 구해 보자. 딱 봐도 구하기 싫게 생겼는데… (4)와 같이 분자를 다 나눠 주고 루트를 다 지수 꼴로 표현한 후에 \(x^n\)의 도함수 공식을 써 주면 계산이 훨씬 간단해진다.

$$ \begin{align}j(x)&=\frac{x^{2/3}-x^3}{x^{3/2}}=x^{-5/6}-x^{3/2}\\j'(x)&=\frac{d}{dx}(x^{-5/6}-x^{3/2})\\&=-\frac{5}{6}x^{-11/6}-\frac{3}{2}x^{1/2}\end{align} $$

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