5. 샌드위치 정리(Squeeze Theorem)

샌드위치 정리

예시

진동하는 함수

다음 함수를 살펴보자.

$$ f(x)=\sin\frac{1}{x} $$

\(x\)가 0에 가까워지면 \(1/x\)은 양/음의 무한대로 발산하고, 따라서 그 짧은 순간 동안 사인함수의 주기를 무한 번 돌게 된다. 따라서 \(f(x)\)의 그래프는 0 근처에서 -1과 1 사이를 계속 왔다갔다하는 아래와 같은 형태를 띤다.

\(y=\sin(1/x)\)의 그래프. \(x=0\)의 근처에서 -1과 1 사이를 한없이 왔다갔다하며 진동한다.

이때 \(x=0\)에서 \(f(x)\)의 극한은 존재할까? \(x\)가 0에 가까워질 때 \(f(x)\)는 -1과 1 사이를 계속 왔다갔다할 뿐, 하나로 가까워지는 값이 없기 때문에 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}f(x)\)는 존재하지 않는다. 즉 이 함수는 \(x=0\)에서 극한은 존재하지 않지만 양이나 음의 무한대로 발산하지도 않고, 이런 경우 \(f(x)\)는 \(x=0\)에서 진동한다고 한다.

\(x^2\)만 붙였을 뿐인데…

이제 다음 함수를 살펴보자.

$$ g(x)=x^2\sin\frac{1}{x} $$

앞에서와 마찬가지로 \(x\)가 0에 가까워질 때 사인함수의 주기를 무한 번 돌게 되지만, 이번에는 \(x\)가 0에 가까워지면 그 진폭도 0에 수렴한다. 즉 주기를 무한 번 돌게 되더라도 왔다갔다하는 최댓값과 최솟값의 차가 0에 한없이 가까워진다는 말인데, 이런 경우는 극한이 존재하지 않을까?

\(y=x^2\sin(1/x)\)의 그래프. \(x\)가 0에 가까워지면 덩달아 0에 가까워진다.

위 \(g(x)\)의 그래프는 \(x=0\)에서 \(g(x)\)의 극한값이 0임을 보여 주지만, 이를 엡실론-델타 논법을 이용하여 증명하기는 쉽지 않아 보인다. 이번 글에서 살펴볼 샌드위치 정리는 이러한 상황에서 사용할 수 있다.

샌드위치 정리

샌드위치 정리(조임정리, squeeze theorem, sandwich theorem)은 다음과 같다. 아래 진술에서는 \(x\)가 \(a\)로 갈 때의 극한에 대해서만 나와 있지만, 좌극한이나 우극한, 그리고 \(x\)가 \(\pm\infty\)로 갈 때의 극한에 대해서도 똑같이 성립한다.

세 함수 \(f(x), g(x), h(x)\)가 \(x=a\) 근처(\(a\)는 제외 가능)에서

$$ f(x)\leq g(x)\leq h(x) $$

를 만족하고,

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)=L $$

이라면 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}g(x)=L\)이다.

직관적으로 설명하자면, 아래 그림과 같이 \(g(x)\)가 \(f(x)\)와 \(h(x)\) 사이에 낀 상태에서 \(f(x)\)와 \(h(x)\)가 똑같은 값에 가까워진다면 \(g(x)\)도 그래야 할 것이라는 말이다. 그것이 이 정리가 샌드위치 정리라고 불리는 이유이다.

샌드위치 정리를 설명하는 그림. \(g\)가 \(f\)와 \(h\) 사이에 낀 상태에서 \(f\)와 \(h\)가 똑같은 값에 가까워진다면, \(g\)도 그래야 한다.
출처: toppr.com

위 정리를 자세히 살펴보면 \(g(x)\)가 수렴한다는 말이 전제에 들어있지 않다. 즉 샌드위치 정리는 사이에 낀 함수의 수렴/발산 여부를 모르는 상태에서도 부등식만 잘 세우면 수렴함과 동시에 극한값까지 찾아줄 수 있는 아주 고마운 정리이다.

이를 이용해 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}x^2\sin\frac{1}{x}=0\)임을 보일 수 있다.

$$ f(x)=-x^2, g(x)=x^2\sin(1/x), h(x)=x^2 $$

라고 놓으면, \(-1\leq\sin(1/x)\leq1\)이므로 \(x=0\) 근처에서 \(f(x)\leq g(x)\leq h(x)\)가 성립하고,

$$ \lim_{x\rightarrow0}f(x)=\lim_{x\rightarrow0}h(x)=0 $$

이므로

$$ \lim_{x\rightarrow0}g(x)=0 $$

이 된다.

\(\lim_{x\rightarrow0}x^2\sin(1/x)=0\)임을 샌드위치 정리를 이용해 증명하는 그림. \(x^2\sin(1/x)\)는 \(-x^2\)와 \(x^2\) 사이에 껴 있으며, \(-x^2\)와 \(x^2\)는 모두 \(x=0\)에서 0으로 수렴하므로 \(x^2\sin(1/x)\)도 0으로 수렴한다.

증명

우리가 보여야 할 것은 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}g(x)=L\)이다. 따라서 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 극한의 정의를 만족시키는 \(\delta>0\)이 존재함을 보이면 된다.

\(\epsilon>0\)이 주어졌다고 하자. 우리는 \(f(x)\)와 \(h(x)\)는 \(L\)로 수렴한다는 사실을 알기 때문에 다음 조건을 만족하는 \(\delta_1, \delta_2>0\)을 잡을 수 있다.

$$ 0<|x-a|<\delta_1\Longrightarrow|f(x)-L|<\epsilon \\ 0<|x-a|<\delta_2\Longrightarrow|h(x)-L|<\epsilon $$

이제 \(\delta=\min\{\delta_1, \delta_2\}\)라 하면 다음이 성립한다.

$$ 0<|x-a|<\delta\Longrightarrow|f(x)-L|<\epsilon, |h(x)-L|<\epsilon\tag{1} $$

이제 주어진 부등식 \(f(x)\leq g(x)\leq h(x)\)을 써먹기 위해 (1)을 다음과 같이 변형하자.

$$ 0<|x-a|<\delta\Longrightarrow f(x)>L-\epsilon, h(x)<L+\epsilon $$

여기서 \(f(x)\leq g(x)\leq h(x)\)이므로

$$ 0<|x-a|<\delta\Longrightarrow L-\epsilon<f(x)\leq g(x)\leq h(x)<L+\epsilon\Longrightarrow|g(x)-L|<\epsilon $$

이 성립한다.

샌드위치 정리를 이용해 극한값 구하기

예제 1

실수 \(x\)에 대하여, \(x\)의 최대정수함수(greatest integer function) \([x]\)는 \(x\)보다 크지 않은 가장 큰 정수로 정의된다. 예를 들어

$$ [5]=5, \quad [\pi]=3, \quad [-2.5]=-3 $$

이다. 이 때, 다음 극한값을 구해보자.

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{[x]}{x} $$

최대정수함수의 성질

\([x]=n\)이라 하면, 정의에 의해 \(n\)은 \(x\)보다 크지 않은 정수이며 \(n+1\)은 \(x\)보다 큰 정수가 되어야 한다. 따라서 다음이 성립한다.

$$ n\leq x<n+1 \Longrightarrow [x]\leq x<[x]+1 $$

이를 \([x]\)에 대해 풀면 아래와 같다.

$$ x-1<[x]\leq x \tag{2}$$

풀이

직관적으로 함수 \([x]\)는 \(x\)와 증가하는 양상이 거의 똑같고, 따라서 \(x\)가 무한대로 갈 때 \([x]\)와 \(x\)의 비율은 1로 수렴할 것이라고 생각할 수 있다. 더 정확한 논증은 샌드위치 정리를 사용하여 할 수 있다. \(x>0\)이라고 가정하고(어차피 \(x\)가 양의 무한대로 갈 때의 극한을 보는 것이므로 이렇게 가정해도 상관없다) 식 (2)의 양변을 \(x\)로 나누면

$$ 1-\frac{1}{x}<\frac{[x]}{x}\leq1 $$

이때 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}1=1\)이므로 샌드위치 정리에 의해

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{[x]}{x}=1 $$

이다.

예제 2

이번에는 다음 극한값을 구해보자.

$$ \lim_{x\rightarrow0}x^2e^{\sin(1/x)} $$

극한을 구하기 곤란하게 만드는 부분은 \(e^{\sin(1/x)}\)이다. \(x\)가 0으로 갈 때 \(\sin(1/x)\)가 발산하므로 \(e^{\sin(1/x)}\)도 그럴 것이고, 따라서 4편에서 살펴보았던 극한의 성질을 이용할 수 없다. 이럴 때는

  1. \(e^{\sin(1/x)}\)의 범위가 적당한 상수로 제한(bound)되고,
  2. 곱해져 있는 \(x^2\)가 0으로 간다는 사실

에 착안해 샌드위치 정리를 사용한다. 우선 \(-1\leq\sin(1/x)\leq1\)이고, 지수함수 \(e^x\)는 증가함수이므로

$$ e^{-1}\leq e^{\sin(1/x)}\leq e $$

이고, 세 변에 \(x^2\)을 곱하면

$$ x^2e^{-1}\leq x^2e^{\sin(1/x)}\leq x^2e $$

가 되고, 여기에서

$$ \lim_{x\rightarrow0}x^2e^{-1}=\lim_{x\rightarrow0}x^2e=0 $$

이므로

$$ \lim_{x\rightarrow0}x^2e^{\sin(1/x)}=0 $$

이다.

예제 3

이번에는 다음 극한값을 구해보자.

$$\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\sin x}{x}$$

\(y=\frac{\sin x}{x}\)의 그래프. \(x=0\)에서 정의되지는 않지만 극한값은 1인 것 같이 보인다.

그래로 보면 극한값은 1인 것 같아 보인다. 이를 증명하기 위해 우선 아래 그림과 같은 도형을 생각하자.

\(0<x<\pi/2\)일 때 \(\sin x\leq x\leq\tan x\)임을 보여 주는 그림.

위와 같은 그림으로부터 샌드위치 정리를 위한 부등식을 만들어낼 수 있다. 위 그림에서 곡선 \(AE\)는 \(O\)를 중심으로 하고 반지름이 1인 원의 호이고, \(\angle BOA=x\)이며 \(EC, BA\)는 \(OA\)와 수직이다. 그러면 \(EC\)의 길이는 \(\sin x\), \(BA\)의 길이는 \(\tan x\)가 될 것이고 우리는 넓이 관계로부터 다음 부등식을 얻는다.

$$\triangle EOA\leq\mathrm{부채꼴}\;EOA\leq\triangle BOA\\\Longrightarrow\frac{1}{2}\sin x\leq\frac{1}{2}x\leq\frac{1}{2}\tan x=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}$$

이를 \(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\)에 대해 풀어주면

$$\cos x\leq\frac{\sin x}{x}\leq1$$

이 되고, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0+}\cos x=\lim_{x\rightarrow0+}1=1\)이므로 샌드위치 정리에 의해

$$\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\sin x}{x}=1$$

이 된다.

이 식에서 \(t=-x\)를 대입함으로써 좌극한 값도 1이 된다는 사실을 보일 수 있고, 따라서

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1$$

이 된다. 이는 삼각함수의 극한과 미분을 다룰 때 가장 기본이 되는 중요한 식이다.

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