3. 엡실론-델타 논법(Epsilon-Delta Argument)을 이용한 극한 증명

극한 증명법

앞선 2. 엡실론-델타 논법(Epsilon-Delta Argument)을 이용한 극한의 정의 글에서는 함수의 극한, 좌극한과 우극한 및 무한 극한을 수학적으로 엄밀하게 정의하였다. 이 글에서는 해당 정의를 이용하여 어떤 함수가 수렴하거나 발산함을 증명해볼 것이다.

수렴하는 경우

함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 극한값 \(L\)을 가진다는 사실을 보이기 위해서는 앞선 글의 극한의 정의에 나왔던 조건을 그대로 사용하면 된다.

임의의 양수 \(\epsilon\)에 대해 적당한 양수 \(\delta\)가 존재하여 \(0<|x-a|<\delta\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다.

따라서 증명의 전체적인 흐름은 다음과 같다.

  1. 임의의 양수 \(\epsilon\)을 잡는다.
  2. \(|x-a|\)와 \(|f(x)-L|\)의 식을 잘 비교하여 조건 “\(0<|x-a|<\delta\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)”을 만족하는 \(\delta\)를 찾는다. 이때 \(\epsilon\)은 \(\delta\)를 정하기 전에 주어진 것이므로 \(\delta\)는 \(\epsilon\)의 함수가 될 수 있다(즉, \(\delta\)의 식에 \(\epsilon\)이 들어갈 수 있다).
  3. 2. 에서 찾은 \(\delta\)에 대해, \(0<|x-a|<\delta\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)임을 증명한다.

발산하는 경우

함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 극한값을 가지지 않음을 보이기 위해서는 귀류법을 주로 사용한다. 어떤 실수 \(L\)이 극한값임을 가정한 후 엡실론-델타 논법을 잘 이용해 모순을 이끌어내는 방식이다. 이 경우 증명의 전체적인 흐름은 대부분 다음과 같다.

  1. 어떤 실수 \(L\)이 극한값임을 가정한다.
  2. 적당한 양수 \(\epsilon_0\)를 하나 잡는다. 극한의 정의에 의해 적당한 양수 \(\delta\)가 존재하여 \(0<|x-a|<\delta\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon_0\)여야 한다.
  3. \(0<|x-a|<\delta\)인 \(x\)를 두 개(편의상 \(x_1, x_2\)라 하자) 잡아서 두 개의 부등식 $$ |f(x_1)-L|<\epsilon_0, \qquad |f(x_2)-L|<\epsilon_0 $$을 만든다.
  4. 이 두 부등식으로부터 모순을 이끌어낸다.

지금 이해하지 않아도 괜찮다. 글의 마지막 부분에 있는 발산하는 경우의 증명을 살펴보면 이해가 될 것이다.

수렴 증명 (1)

비교적 쉬운 일차함수로 시작해보자. 함수

$$ f(x)=3x-2 $$

의 \(x=1\)에서의 극한값이 1임을 보이자. \(x\)가 1에 한없이 가까워짐에 따라 \(f(x)\)도 1에 가까워짐을 아래 그래프를 통해 직관적으로 확인할 수 있을 것이다.

\(y=3x-2\)의 그래프. \(x\)가 1로 갈 때의 극한값이 1임을 직관적으로 확인할 수 있다.

극한 증명을 위한 직관

위의 극한 증명 과정을 그대로 따라갈 것이다. 양수 \(\epsilon\)을 잡자. 우리는

$$ 0<|x-1|<\delta\Longrightarrow|f(x)-1|<\epsilon $$

인 \(\delta\)를 찾아야 한다. \(|f(x)-1|=|(3x-2)-1|=3|x-1|\)이므로, 결국에는

$$ 0<|x-1|<\delta\Longrightarrow3|x-1|<\epsilon $$

인 \(\delta\)를 하나 찾으면 된다. 가정에 의해 \(0<3|x-1|<3\delta\)이므로 \(3\delta=\epsilon\), 즉 \(\delta=\epsilon/3\)으로 잡으면 충분하다. 이렇게 \(\delta\)를 찾았으니, 우리는 지금까지의 과정을 거슬러 올라가 이 \(\delta\)에 대해

$$ 0<|x-1|<\delta\Longrightarrow|f(x)-1|<\epsilon $$

가 성립함을 보이면 증명이 끝난다.

증명

주어진 \(\epsilon>0\)에 대해, \(\delta=\epsilon/3\)이라 하자.

만약 \(0<|x-1|<\delta\)라면

$$ |f(x)-1|=|(3x-2)-1|=3|x-1|<3\delta=\epsilon $$

즉 극한의 정의를 만족하는 양수 \(\delta\)가 존재하고, 따라서 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}f(x)=1\)이다.

수렴 증명 (2)

이번에는 함수

$$ g(x)=\frac{1}{x} $$

의 \(x=1\)에서의 극한값이 1임을 증명해 보자. 이 사실도 마찬가지로 아래 그래프를 통해 직관적으로는 확인할 수 있다.

\(y=1/x\)의 그래프. \(x=1\)에서의 극한값이 1임을 직관적으로 확인할 수 있다.

극한 증명을 위한 직관

위에서와 같이 양수 \(\epsilon\)을 잡자. 우리는

$$ 0<|x-1|<\delta\Longrightarrow|g(x)-1|<\epsilon $$

을 만족하는 양수 \(\delta\)를 찾아야 한다. 이때

$$ |g(x)-1|=\left|\frac{1}{x}-1\right|=\frac{|x-1|}{|x|} $$

인데, 분자는 \(|x-1|<\delta\)이므로 \(\delta\)에 관해 나타낼 수 있지만 \(|x|\)는 그렇지 않다. 이는 무엇을 의미할까?

위의 증명을 보면 \(|f(x)-1|\)을 \(3|x-1|\)로 나타낸 후 그것이 어떤 \(\delta\)에 관한 식(위에서는 \(3\delta\))보다 작음을 이용하고, 그 \(\delta\)와 관한 식과 \(\epsilon\)의 연결고리를 만듦으로써 적절한 \(\delta\)를 ((\(\epsilon\)에 관한 식으로써) 구할 수 있었다.

하지만 이번에는 분모에 있는 \(|x|\) 때문에 이런 일을 하는 게 조금 까다롭다. 그렇다면 이렇게 생각해보자. \(\delta\)를 충분히 작게 하면 \(|x|\)가 거의 1에 가까워지니까 \(1/|x|\) 값이 어떤 고정된 범위 안에 있게 되지 않을까?

\(\delta\) 값에 따른 \(1/|x|\) 값의 범위. \(\delta\)가 충분히 작으면 \(1/|x|\)의 범위가 고정되고, 이를 이용해 극한 증명을 할 수 있다.

예를 들어 \(\delta\leq1/2\)라 해보자. 그러면 \(\displaystyle\frac{2}{3}<\frac{1}{|x|}<2\)이므로

$$ |g(x)-1|=\frac{|x-1|}{|x|}<\frac{\delta}{|x|}<2\delta $$

가 되고, 따라서 \(2\delta\)가 \(\epsilon\)보다 작거나 같게만 해주면 된다. 이는 \(\delta\leq\frac{1}{2}\)라는 가정 하에 진행되는 논증이므로, 이 경우 최종적으로는 \(\displaystyle\delta=\min\left\{\frac{1}{2}, \frac{\epsilon}{2}\right\}\)로 잡으면 된다.

증명

주어진 \(\epsilon>0\)에 대해, \(\displaystyle\delta=\min\left\{\frac{1}{2}, \frac{\epsilon}{2}\right\}\)라 하자. 그러면 \(\delta\leq1/2\)이므로

$$ 0<|x-1|<\delta\leq\frac{1}{2}\Longrightarrow\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}\Longrightarrow\frac{2}{3}<\frac{1}{|x|}<2 $$

이고, \(\delta\leq\epsilon/2\)이다.

따라서 \(0<|x-1|<\delta\)를 만족하는 \(x\)에 대해

$$ |g(x)-1|=\left|\frac{1}{x}-1\right|=\frac{|x-1|}{|x|}<\frac{\delta}{|x|}<2\delta\leq\epsilon $$

즉 극한의 정의를 만족하는 양수 \(\delta\)가 존재하고, 따라서 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}g(x)=1\)이다.

발산 증명

이번에는 함수

$$ h(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & (x<0) \\ 1 & (x\geq0) \end{array}\right. $$

가 \(x=0\)에서 극한값을 가지지 않음을 보여 보자. 이 함수의 그래프는 아래 그림과 같이 \(x=0\)에서 끊어져 있는 형태이고, 따라서 좌극한과 우극한이 달라 \(x=0\)에서 극한값이 없음을 직관적으로 확인할 수 있다.

\(y=h(x)\)의 그래프. \(x\)가 0일 때를 기준으로 왼쪽의 함숫값은 0이고, 오른쪽의 함숫값은 1이므로 이때를 기준으로 끊겨 있는 형태이고, \(x=0\)에서의 극한값은 존재하지 않는다.

극한 증명을 위한 직관

마찬가지로 위에서 살펴보았던 발산하는 경우의 증명법을 그대로 따라갈 것이다. 어떤 실수 \(L\)이 \(x=0\)에서의 극한값임을 가정하자. 그러면 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 적당한 양수 \(\delta\)가 존재하여 다음 조건을 만족한다.

$$ 0<|x-0|<\delta\Longrightarrow|h(x)-L|<\epsilon $$

이 함수가 \(x=0\)에서 발산하는 이유는 0을 기점으로 함숫값이 확 바뀐다는 데 있다. 따라서 \(0<|x|<\delta\) 범위 내의 음수 \(x\)(예컨대 \(-\delta/2\))를 하나 잡고, 양수 \(x\)(예컨대 \(\delta/2\))를 하나 잡으면 다음과 같이 두 개의 부등식을 만들 수 있다.

$$ |h(-\delta/2)-L|=|0-L|<\epsilon, \qquad |h(\delta/2)-L|=|1-L|<\epsilon $$

각각을 만족하는 \(L\)의 범위는 다음과 같다.

$$ -\epsilon<L<\epsilon, \qquad 1-\epsilon<L<1+\epsilon $$

\(L\)이 극한값이라면 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 두 부등식을 모두 만족해야 한다. 하지만 이는 \(\epsilon\)이 엄청 작아 아래 그림처럼 구간 \((-\epsilon, \epsilon)\)과 \((1-\epsilon, 1+\epsilon)\)이 겹치치 않는다면 불가능할 것이다.

각각의 부등식을 만족하는 \(L\)의 범위. \(\epsilon\leq1/2\)이면 두 구간이 겹치지 않아 \(L\)이 위 두 부등식을 동시에 만족시킬 수 없다.

실제로는 \(\epsilon\)이 \(1/2\) 이하이기만 하면 이런 일이 발생할 것이니, \(\epsilon\)의 값을 \(1/2\)보다 작거나 같은 값으로 아무거나 잡아주면 된다.

증명

어떤 실수 \(L\)이 \(x=0\)에서 \(h(x)\)의 극한값이라고 가정하자. \(\epsilon=1/2\)로 놓으면, 적당한 양수 \(\delta\)가 존재하여 다음 조건을 만족한다.

$$ 0<|x-0|<\delta\Longrightarrow|h(x)-L|<\frac{1}{2} $$

\(x=-\delta/2\)를 대입하면, \(0<|x-0|<\delta\)를 만족하므로

$$ \left|h\left(-\frac{\delta}{2}\right)-L\right|=|0-L|=|L|<\frac{1}{2}\Longrightarrow-\frac{1}{2}<L<\frac{1}{2} $$

\(x=\delta/2\)를 대입하면, \(0<|x-0|<\delta\)를 만족하므로

$$ \left|h\left(\frac{\delta}{2}\right)-L\right|=|1-L|=|L|<\frac{1}{2}\Longrightarrow\frac{1}{2}<L<\frac{3}{2} $$

즉 \(\displaystyle -\frac{1}{2}<L<\frac{1}{2}\)이면서 \(\displaystyle \frac{1}{2}<L<\frac{3}{2}\)이고, 이는 모순. 따라서 어떤 실수 \(L\)도 \(x=0\)에서 \(h(x)\)의 극한값이 될 수 없고, \(x=0\)에서 \(h(x)\)의 극한값은 존재하지 않는다.

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