2. 엡실론-델타 논법(Epsilon-Delta Argument)을 이용한 극한의 정의

함수의 극한을 수학적으로 정의하는 법

1. 함수의 극한(Limit of a Function) 글에서는 “\(x=a\)에서의 함숫값”과 “\(x\)가 \(a\)에 가까워질 때 함수가 가까워지는 값”이 다름을 밝혔고, 함수의 극한 개념에 대해 정의하였다. 해당 글에서 소개한 극한의 정의는 다음과 같다.

실수 \(a\)와 \(a\) 근처(\(a\)는 제외 가능)에서 정의된 함수 \(f(x)\)에 대해, \(x\)가 \(a\)에 한없이 가까워질 때 \(f(x)\)가 어떤 실수 \(L\)에 한없이 가까워진다면 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 \(L\)에 수렴한다고 하고, 기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L $$

이때 \(L\)을 \(x=a\)에서 \(f(x)\)의 극한값이라고 한다.

사실 이 정의를 그대로 가지고 와 수학에서 사용하기에는 조금 무리가 있다. “한없이 가까워진다”는 표현이 수학적으로 모호하기 때문이다. 따라서 우리는 극한을 제대로 다루기 위해 이 표현을 수학적으로 명확하게 정의할 필요가 있다. 이 글에서 소개할 엡실론-델타 논법(epsilon-delta argument)은 함수의 극한을 수학적으로 명확하게 정의하며, 다양한 함수의 극한 및 극한의 여러 가지 성질을 증명할 수 있게 해준다.

“\(x\)가 \(a\)에 한없이 가까워질 때 \(f(x)\)가 어떤 실수 \(L\)에 한없이 가까워진다”는 표현은 수학적으로 아래와 같이 정의된다.

\(x\)값을 \(a\)에 적당히 가깝도록 설정함으로써 \(f(x)\)의 값을 (실제로 \(L\)이 되진 않더라도) 우리가 원하는 만큼 \(L\)과 가깝게 만들 수 있다.

예시

다음과 같은 일차함수를 살펴보자.

$$ f(x)=2x+1 $$

1. 함수의 극한(Limit of a Function) 글을 보고 왔다면 직관적으로 \(x=0\)에서 \(f(x)\)의 극한값은 1임을 알 것이다. 실제로 \(x=0\)에서 \(f(x)\)의 극한값이 1이려면, 위의 정의에 의해 \(x\)값을 0에 적당히 가깝게 놓음으로써 \(f(x)\)의 값을 우리가 원하는 만큼 1에 가깝게 만들 수 있어야 한다. 실제로 \(f(x)\)는 이를 만족하고, 몇 가지 예시를 들어보면 다음과 같다.

  • \(f(x)\)와 1과의 거리를 1 미만으로 좁히기 위해서는(\(|f(x)-1|<1\)) \(x\)와 0과의 거리를 0.5 미만으로 좁히면 된다(\(|x-0|<0.5\)).
  • \(f(x)\)와 1과의 거리를 0.5 미만으로 좁히기 위해서는(\(|f(x)-1|<0.5\)) \(x\)와 0과의 거리를 0.25미만으로 좁히면 된다(\(|x-0|<0.25\)).
  • \(f(x)\)와 1과의 거리를 0.1 미만으로 좁히기 위해서는(\(|f(x)-1|<0.1\)) \(x\)와 0과의 거리를 0.05미만으로 좁히면 된다(\(|x-0|<0.05\)).
  • \(f(x)\)와 1과의 거리를 0.0001 미만으로 좁히기 위해서는(\(|f(x)-1|<0.0001\)) \(x\)와 0과의 거리를 0.00005 미만으로 좁히면 된다(\(|x-0|<0.00005\)).

우리는 위와 같은 논증을 통해 \(x\)와 0과의 거리를 충분히 가깝게 함으로써 \(f(x)\)와 1과의 거리를 우리가 원하는 만큼 가깝게 할 수 있음을 확인할 수 있다. 만약 우리가 \(f(x)\)와 1과의 거리를 엄청나게 작은 양수 \(\epsilon\)보다 가깝게 하기를 원한다면, \(x\)와 0과의 거리를 \(\epsilon/2\)보다 가깝도록 설정하면 된다. 이 사실은 아래 그림으로부터 직관적으로 확인할 수 있다.

함수 \(f(x)=2x+1\)의 \(x=0\)에서의 극한값이 1임을 설명하는 그림. 함숫값이 1과 \(\epsilon\)만큼 가깝도록 만들려면 \(x\)가 0과 \(\epsilon/2\)만큼 가깝도록 만들면 된다.

위 사실은 대수적으로도 증명할 수 있다. 만약 \(x\)와 0과의 거리가 \(\epsilon/2\)보다 작다면 다음 부등식이 성립한다.

$$ |x|=|x-0|<\frac{\epsilon}{2} $$

이때 \(f(x)\)와 1과의 거리는 \(|f(x)-1|=|(2x+1)-1|=2|x|\)이므로 위 부등식에 의해 다음이 성립한다.

$$ |f(x)-1|=2|x|<\epsilon $$

즉 \(f(x)\)와 1과의 거리는 \(\epsilon\)보다 작다.

극한의 엄밀한 정의

지금까지 살펴보았듯이, \(x=a\)에서 \(f(x)\)의 극한값이 \(L\)이라는 것은 아무리 작은 양수 \(\epsilon\)이 주어져도 \(x\)와 \(a\) 사이의 거리 \(|x-a|\)를 충분히 가깝게 만듦으로써 \(f(x)\)와 \(L\) 사이의 거리 \(|f(x)-L|\)을 \(\epsilon\)보다 가깝게 만들 수 있다는 것을 의미한다. 이를 간단하게 나타내면 다음과 같다.

임의의 양수 \(\epsilon\)에 대해 적당한 양수 \(\delta\)가 존재하여 \(|x-a|<\delta\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다.

이 문장이 극한을 수학적으로 엄밀하게 정의하기 위해서 사용하는 엡실론-델타 논법의 핵심이다.

엡실론-델타 논법을 이용한 극한의 정의

극한의 엄밀한 정의는 맨 처음에 나왔던 정의의 “\(x\)가 \(a\)에 한없이 가까워질 때 \(f(x)\)가 어떤 실수 \(L\)에 한없이 가까워진다” 부분을 바로 위에서 언급했던 명제로 갈아끼우면 완성된다.

실수 \(a\)와 \(a\) 근처(\(a\)는 제외 가능)에서 정의된 함수 \(f(x)\)에 대해, \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 어떤 실수 \(L\)에 수렴한다는 것은 다음이 성립함을 의미한다:

임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대해 적당한 \(\delta>0\)가 존재하여 \(0<|x-a|<\delta\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다.

이 때 \(L\)을 \(x=a\)에서 \(f(x)\)의 극한값이라고 하고, 기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L $$

여기에서 한 가지 포인트는 \(0<|x-a|\), 즉 \(x\)가 \(a\)인 상황은 포함하지 않는다는 것이다. 1. 함수의 극한(Limit of a Function) 글에서도 언급하였듯이, 함수의 극한을 볼 때는 \(x=a\)가 아닌 \(a\) 근처에서 함수가 어떤 행동을 취하는지를 보아야 하기 때문이다. \(x=a\)일 때와 상관없이 함수가 \(a\) 근처에서 잘 정의되기만 한다면 극한이 정의될 수 있다.

좌극한과 우극한

위에서 극한을 정의한 것과 같이 엡실론-델타 논법을 이용하여 좌극한과 우극한도 엄밀하게 증명할 수 있다. 위의 조건에서 \(0<|x-a|<\delta\)를 풀어 쓰면 \(a-\delta<x<a\) 또는 \(a<x<a+\delta\)인데, 이때 \(a-\delta<x<a\)인 경우가 \(x\)가 \(a\)의 왼쪽에서 올 때이므로 \(0<|x-a|<\delta\)를 \(a-\delta<x<a\)로 바꿔 쓰면 좌극한의 정의가 되고, 마찬가지로 \(a<x<a+\delta\)로 바꿔 쓰면 우극한의 정의가 된다.

좌극한의 엄밀한 정의

실수 \(a\)와 함수 \(f(x)\)에 대해, \(f(x)\)가 다음 성질을 만족할 때 \(x=a\)에서 좌극한 \(L\)을 갖는다고 한다.

임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대해 적당한 \(\delta>0\)가 존재하여 \(a-\delta<x<a\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다.

기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow a-}f(x)=L $$

우극한의 엄밀한 정의

실수 \(a\)와 함수 \(f(x)\)에 대해, \(f(x)\)가 다음 성질을 만족할 때 \(x=a\)에서 우극한 \(L\)을 갖는다고 한다.

임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대해 적당한 \(\delta>0\)가 존재하여 \(a<x<a+\delta\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다.

기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow a+}f(x)=L $$

무한 극한

우리는 지금까지 엡실론-델타 논법을 사용하여 함수의 극한과 좌극한, 우극한을 정의했다. 이 논법의 핵심은 \(x\)를 \(a\)와 충분히 가깝게 만듦으로써 \(f(x)\)의 값을 극한값 \(L\)에 한없이 가까워지게 만들 수 있다는 것이었다.

하지만 이 상태로는 다음과 같은 형태인 무한 극한을 나타낼 수 없다.

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^2}=\infty \qquad \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0 $$

이는 무한 극한의 정의에 “한없이 가까워진다”는 표현 대신 “한없이 커진다”는 표현이 사용되기 때문이다. 따라서 엡실론-델타 논법에서 했던 것처럼 “한없이 커진다”는 표현 또한 수학적으로 명확하게 정의할 필요가 있다.

무한 극한 (1)

우선 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^2}=\infty\)와 같이 \(x\)가 어떤 값에 가까워질 때 함숫값이 한없이 커지거나 작아지는 경우를 살펴보자. “\(x\)가 \(a\)에 한없이 가까워질 때 \(f(x)\)가 한없이 커진다”는 뜻은 아래와 같이 정의하는 것이 자연스러워 보인다.

\(x\)값을 \(a\)에 적당히 가깝도록 설정함으로써 \(f(x)\)의 값을 우리가 원하는 만큼 크게 만들 수 있다.

예를 들어, 바로 앞에 나온 함수 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}\)에 대하여,

  • \(f(x)\)의 값을 1보다 크게 만들기 위해서는 \(x\)와 0과의 거리를 1 미만으로 좁히면 된다.
  • \(f(x)\)의 값을 4보다 크게 만들기 위해서는 \(x\)와 0과의 거리를 0.5 미만으로 좁히면 된다.
  • \(f(x)\)의 값을 10000보다 크게 만들기 위해서는 \(x\)와 0과의 거리를 0.01 미만으로 좁히면 된다.

즉 아무리 큰 양수 \(N\)을 가지고 와도 \(x\)와 0과의 거리를 적당한 양수 \(\delta\) 미만으로 좁히면 \(f(x)\)의 값을 \(N\)보다 크게 만들 수 있다. 이러한 조건은 일반적으로 아래와 같이 쓸 수 있다.

임의의 양수 \(N\)에 대해 적당한 양수 \(\delta\)가 존재하여 \(|x-a|<\delta\)이면 \(f(x)>N\)이다.

이를 엡실론-N 논법(epsilon-N argument)이라고 하고, 이를 이용해 무한 극한을 정의할 수 있다.

실수 \(a\)와 함수 \(f(x)\)에 대해, \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 양의 무한대로 발산한다 것은 다음이 성립함을 의미한다:

임의의 양수 \(N\)에 대해 적당한 양수 \(\delta\)가 존재하여 \(0<|x-a|<\delta\)이면 \(f(x)>N\)이다.

기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty $$

음의 무한대로 발산하는 경우도 똑같이 정의할 수 있다.

실수 \(a\)와 함수 \(f\)에 대해, \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 음의 무한대로 발산한다 것은 다음이 성립함을 의미한다:

임의의 음수 \(M\)에 대해 적당한 양수 \(\delta\)가 존재하여 \(0<|x-a|<\delta\)이면 \(f(x)<M\)이다.

기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty $$

무한 극한 (2)

이번에는 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0\)와 같이 \(x\) 값이 한없이 커지거나 작아질 때 함숫값이 어떤 값에 가까워지는 경우를 살펴보자. 이번에는 \(x\)가 한없이 커지는 경우이므로 여기에 \(x>N\), \(f(x)\)가 어떤 값 \(L\)에 한없이 가까워지는 경우이므로 여기에 \(|f(x)-L|<\epsilon\)을 붙여주면 된다. 따라서 정의의 핵심 부분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

임의의 양수 \(\epsilon\)에 대해 적당한 양수 \(N\)이 존재하여 \(x>N\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다.

이를 이용해 정의한 무한 극한은 다음과 같다.

함수 \(f(x)\)에 대해, \(x\)가 양의 무한대로 갈 때 \(f(x)\)가 \(L\)에 수렴한다는 것은 다음이 성립함을 의미한다:

임의의 양수 \(\epsilon\)에 대해 적당한 양수 \(N\)이 존재하여 \(x>N\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다.

기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L $$

\(x\)가 음의 무한대로 가는 경우도 똑같다.

함수 \(f(x)\)에 대해, \(x\)가 음의 무한대로 갈 때 \(f(x)\)가 \(L\)에 수렴한다는 것은 다음이 성립함을 의미한다:

임의의 양수 \(\epsilon\)에 대해 적당한 음수 \(M\)이 존재하여 \(x<M\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다.

기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L $$

무한 극한 (3)

\(x\)와 함숫값 둘 다 한없이 커지거나 작아지는 경우이다.

실수 \(a\)와 함수 \(f(x)\)에 대해, \(x\)가 양의 무한대로 갈 때 \(f(x)\)가 양의 무한대로 발산한다 것은 다음이 성립함을 의미한다:

임의의 양수 \(N\)에 대해 적당한 양수 \(M\)이 존재하여 \(x>M\)이면 \(f(x)>N\)이다.

기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty $$

다음 경우들도 똑같은 방식으로 정의할 수 있다.

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=-\infty\qquad\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\infty\qquad\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty $$

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