21. 역도함수(Antiderivatives)와 부정적분(Indefinite Integrals)

우리는 지금까지 스무 편의 글을 통해 함수의 극한과 연속, 미분으로 할 수 있는 것들을 알아보았다. 함수를 미분한다는 것은 기본적으로 접선의 기울기를 구한다는 뜻이며, 이를 조금 응용하면 미분으로 함수의 증가와 감소, 오목과 볼록에 대해서도 알아볼 수 있었고, 나아가 함수의 그래프까지 그릴 수 있었다.

이번 글부터는 적분에 대해서 알아본다. 적분은 미분의 역과정이라는 말을 들어본 적이 있을 것이다. 이번 글에서는 도함수의 반대되는 개념인 역도함수와 부정적분을 정의하고, 왜 미분을 반대로 하면 적분이 되는지에 대해서는 다음 글부터 차차 알아보도록 할 것이다.

역도함수

정의는 아래와 같다.

함수 \(F(x)\)가 구간 \(I\)에서 함수 \(f(x)\)의 역도함수(antiderivative)라 함은 아래 조건을 만족한다는 뜻이다.

  • 모든 \(x\in I\)에 대해 \(F'(x)=f(x)\)이다.

즉 미분했더니 자기 자신이 되는 함수가 바로 역도함수이다. 예를 들어 함수

$$ f(x)=x^3 $$

의 역도함수를 구해 보자. 미분 공식

$$ (x^n)’=nx^{n-1} $$

을 기억한다면 미분했을 때 \(x^3\)이 되려면 차수가 하나 더 높은 \(x^4\)가 나와야 한다는 사실을 짐작할 수 있을 것이다. 무작정 \(x^4\)를 미분해 보면

$$ (x^4)’=4x^3 $$

으로 \(f(x)\)의 네 배가 나오므로, 앞에 \(1/4\)를 곱해주면 우리가 원하는 함수가 나올 것이다.

$$ \left(\frac{1}{4}x^4\right)’=\frac{1}{4}\cdot4x^3=x^3=f(x) $$

그러므로 구하는 답은

$$ F(x)=\frac{1}{4}x^4 $$

이다.

역도함수는 몇 개 있을까?

위의 예시에서, 미분했더니 \(f(x)\)가 되는 함수는 과연 \(\displaystyle F(x)=\frac{1}{4}x^4\) 한 개 뿐일까? 상수를 미분하면 0이 된다는 사실을 기억한다면, 이 \(F(x)\)에 적당한 상수를 더한 꼴은 미분하면 모두 \(f(x)\)가 된다는 사실을 알 수 있을 것이다.

$$ \begin{align} F_1(x)=\frac{1}{4}x^4+1 &\Longrightarrow F_1′(x)=f(x) \\ F_2(x)=\frac{1}{4}x^4-\pi &\Longrightarrow F_2′(x)=f(x) \\ F_3(x)=\frac{1}{4}x^4+99999 &\Longrightarrow F_3′(x)=f(x) \\ \end{align} $$

함수 \(f(x)=x^3\)의 역도함수 \(F(x), F_1(x), F_2(x)\)의 그래프. 이렇게 상수 차이가 나는 함수들은 미분했을 때 모두 똑같은 함수가 된다.

즉, 일반적으로 \(F'(x)=f(x)\)라면 \(F(x)\)에 적당한 상수를 더한 \(F(x)+C\) 꼴은 모두 미분하면 \(f(x)\)가 되므로 어떤 함수의 역도함수는 셀 수도 없이 많다.

\(f(x)\)의 모든 역도함수

그렇다면 이번에는 반대로 물어보자. \(F'(x)=f(x)\)라면, \(f(x)\)의 역도함수들 중 \(F(x)+C\) 꼴이 아닌 다른 게 있을까? 정답은 없다. 이 사실은 평균값 정리를 통해 증명할 수 있다.

함수 \(f(x)\)가 두 개의 역도함수 \(F(x)\)와 \(G(x)\)를 가지고 있다고 가정하자. 가정에 의해

$$ F'(x)=f(x), \qquad G'(x)=f(x) $$

가 성립하고, 우리는 모든 \(x\)에 대해

$$ G(x)=F(x)+C \tag{1}$$

꼴로 써진다는 것을 보이면 된다. 편의를 위해 새로운 함수

$$ H(x)=G(x)-F(x) $$

를 하나 정의하고,

$$ H(0)=G(0)-F(0)=C $$라고 하자. \(x=0\)이라면 당연이 (1)이 성립한다. \(x>0\)이라 하자(\(x<0\)일 때에도 똑같은 방식으로 보일 수 있다). 구간 \([0, x]\)에서 \(H\)에 평균값 정리를 써 주면

$$ H'(c)=\frac{H(x)-H(0)}{x} \tag{2}$$

를 만족하는 \(c\in(0, x)\)가 존재한다. 이때

$$ H'(c)=G'(c)-F'(c)=f'(c)-f'(c)=0 $$

이므로 식 (2)는

$$ 0=\frac{H(x)-H(0)}{x}\Longrightarrow H(x)=H(0) $$

와 같이 바뀌고, \(H(x)=G(x)-F(x)\), \(H(0)=C\)이므로

$$ G(x)-F(x)=C\Longrightarrow G(x)=F(x)+C $$

가 된다.

부정적분

앞서 \(F'(x)=f(x)\)일 때, \(f(x)\)의 모든 역도함수는 \(F(x)+C\)의 꼴이라는 사실을 알아보았다. 이러한 형태의 모든 함수들을 \(f(x)\)의 부정적분(indefinite integral)이라고 하고, 기호로는

$$ \int f(x)dx $$

와 같이 나타낸다. 즉

$$ F'(x)=f(x)\;\Longrightarrow\;\int f(x)dx=F(x)+C $$

이다. 둘의 차이점을 살펴보자면

  • 역도함수는 미분했을 때 그 함수가 되는 함수 하나하나를 일컫는 느낌이 강하다면,
  • 부정적분이라 함은 그 함수들을 총칭하여 포괄적으로 부르는 느낌이 더 강하다.

예제 1

함수

$$ g(x)=\sin x $$

에 대해

$$ \int g(x)dx=\int\sin xdx $$

를 구해 보자. 삼각함수의 미분 공식을 기억한다면

$$ (\sin x)’=\cos x, \qquad (\cos x)’=-\sin x $$

라는 사실을 알고 있을 것이다. \(\cos x\)를 미분하면 \(-\sin x\)가 되지만, 우리는 미분했을 때 \(\sin x\)가 되는 함수를 찾기를 원하므로 여기에 마이너스 하나만 붙여 주면 될 것이다. 즉

$$ (-\cos x)’=\sin x $$

가 되고, 우리가 구하는 답은 여기에 상수 \(C\)를 붙인 꼴이다.

$$ \int g(x)dx=\int\sin xdx=-\cos x+C $$

예제 2

이번에는 함수

$$ h(x)=xe^{x^2} $$

에 대해,

$$ \int h(x)dx=\int xe^{x^2}dx $$

를 구해 보자. 꽤나 복잡해 보이는데… 우선 \(e^x\)가 들어 있으니 지수함수의 미분 공식을 먼저 상기해보도록 하자.

$$ (e^x)’=e^x $$

즉 \(e^x\)는 미분해도 그대로 보존되는데, 위 식에는 \(e^{x^2}\)가 포함되어 있다. 연쇄법칙을 이용하여 이를 미분해 보면

$$ \left(e^{x^2}\right)’=e^{x^2}\cdot(2x)=2xe^{x^2} $$

\(h(x)\)와 거의 똑같은 꼴이 나왔으니 성공이다. \(h(x)\)의 두 배가 나왔으니, 이를 2로 나누어 주면 정답이 나올 것이다.

$$ \left(\frac{1}{2}e^{x^2}\right)=xe^{x^2}=h(x) $$

여기에 상수 \(C\)만 더해 주면 구하는 답이 나온다.

$$ \int h(x)dx=\int xe^{x^2}dx=\frac{1}{2}e^{x^2}+C $$

다양한 함수의 부정적분

어떤 함수의 도함수를 찾는 것은 쉽다. 이는 근본적으로 도함수의 정의

$$ f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

가 존재하기에, 이 정의에 그대로 대입하여 구하면 다양한 미분 공식을 얻을 수 있기 때문이다. 하지만 이와 반대로 역도함수는 정의 자체가 “미분하면 자신이 되는 함수”이기 때문에 이를 구하기 위해서는 여러 번의 시행착오가 필요하다. 즉 적분은 미분보다 훨씬 어렵다. 다행히도(?) 적분을 잘 하기 위해 만들어진 여러 가지 테크닉들이 존재하고, 앞으로 다양한 예제를 통해 만나볼 다양한 적분 공식들이 존재한다. 미분 공식들로부터 바로 파생된 가장 기본적인 적분 공식들을 소개하며 글을 마친다.

$$ \begin{align} \int x^ndx&=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\; (n\neq-1) &\quad \int\frac{1}{x}dx&=\ln|x|+C \\ \int\sin xdx&=-\cos x+C &\quad \int\cos xdx&=\sin x+C \\ \int\sec^2xdx&=\tan x+C &\quad \int\sec x\tan xdx&=\sec x+C \\ \int\csc^2xdx&=-\cot x+C &\quad \int\csc x\cot xdx&=-\csc x+C \\ \int e^xdx&=e^x+C &\quad \int a^xdx&=\frac{a^x}{\ln a}+C\;(a>0) \\ \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx&=\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\;(a\neq0) &\quad \int\frac{1}{a^2+x^2}dx&=\frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\;(a\neq0) \end{align} $$

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