12. 역삼각함수(Inverse Trigonometric Functions)

이번 글에서는 역삼각함수(inverse trigonometric functions)에 대해 알아볼 것이다. 이는 말 그대로 삼각함수

$$ \sin x, \quad \cos x, \quad \tan x, \quad \csc x, \quad \sec x, \quad \cot x $$

의 역함수들을 뜻한다. 미적분학 하다 말고 갑자기 웬 역삼각함수냐… 라고 물을 수 있겠지만, 이들은 미적분에서 굉장히 중요한 역할을 하고 있다. 바로 다음 글에서 살펴보겠지만, 역삼각함수의 도함수는 초월함수가 아니다! 스포를 조금 해 보자면, 역사인함수와 역탄젠트함수의 도함수는 각각 아래와 같다.

$$ \frac{d}{dx}\sin^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2} $$

나중에 적분을 배우게 되면 “미분해서 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)가 되는 함수는 무엇이냐?”와 같은 질문에 답을 해야 하는데, 역사인함수를 정의하지 않고서는 이 질문에 답을 할 수 없다. 그렇기에 역삼각함수는 미적분에서 꼭 필요한 함수라고 할 수 있겠다.

역사인함수

이 글에서는 \(\sin x, \cos x, \tan x\)에 대한 역함수들만 다룬다. \(\csc x, \sec x, \cot x\)의 역함수를 다루기 위해서는 정의역을 어디로 제한할 것인가에 대한 복잡한 논의가 필요하고, 이들의 도함수는 미적분에서 거의 써먹지 않기 때문이다. \(\csc x, \sec x, \cot x\)의 역함수에 대해 자세히 알아보고 싶다면 위키백과(한글, 영어)를 참고하자(한국어 사이트가 보기 편하지만, 영어 사이트에는 더 양질의 정보가 나와 있다).

사인함수를 일대일함수로 만드는 법

가장 먼저 사인함수의 역함수를 생각해볼 텐데, 여기서 한 가지 문제가 있다. 일대일함수여야 역함수가 정의되는데, 사인함수는 딱 봐도 일대일함수가 아니다. 당장 \(\sin x=0\)되는 점만 찾아 봐도

$$ x=0, \;\pm\pi, \;\pm2\pi, \;\pm3\pi, \;\cdots $$

로 무수히 많다.

\(y=\sin x\)의 그래프와 \(y=0\)의 그래프. \(\sin x=0\) 되는 해 \(x\)는 무수히 많고, 따라서 \(\sin x\)는 일대일함수가 아니다.

따라서 사인함수의 역함수를 만들기 위해 우리는 적절히 \(\sin x\)의 정의역을 제한해 이를 일대일함수로 만들어줘야 한다.

Horizontal Line Test

어떤 함수 \(f(x)\)의 그래프 \(G\)가 주어졌을 때, \(f\)가 일대일함수인지를 판별하기 위해 흔히 horizontal line test라는 것을 사용한다. \(k\) 값을 바꾸어 가며 \(G\)와 수평선 \(y=k\)를 한 평면 위에 놓았을 때, 이 둘의 교점이 두 개 이상 존재하는 \(k\)값이 있으면

$$ f(x_1)=k=f(x_2) $$

되는 \(x_1\neq x_2\)가 있다는 말이므로 \(f\)는 일대일함수가 되지 않고, 아니면 일대일함수가 된다.

\(\sin x\)의 정의역을 \([0, \pi]\)로 제한했을 때의 모습. 수평선 \(y=0.5\)가 이 그래프(빨간색)과 두 점에서 만나므로 horizontal line test에 의해 이때는 일대일함수가 되지 않는다.

예를 들어 \(\sin x\)의 정의역을 \([0, \pi]\)로 제한하면 위와 같이 그래프(빨간색)와 두 개의 점에서 만나는 \(k\)값(위 그림에서는 0.5)이 존재하고, 따라서 이때는 일대일함수가 되지 않는다.

성공적인 정의역의 제한

그렇다면 정의역을 \([-\pi/2, \pi/2]\)로 제한하면 어떨까?

\(\sin x\)의 정의역을 \([-\pi/2, \pi/2]\)로 제한했을 때의 그림. 이때는 어떤 수평선과도 두 개 이상의 점에서 만나지 않으므로 일대일함수가 된다.

위 그림과 같이 이때는 어떤 수평선을 가져다 대도 그래프(빨간색)와 두 개 이상의 점에서 만나지 않는다. 따라서 이때는 사인함수가 일대일함수가 되고, 우리는 역사인함수를 만들 때 이 정의역을 사용할 것이다.

역사인함수의 정의

앞에서 살펴보았듯이, 우리는 역사인함수를 정의하기 위해 다음과 같이 정의역을 제한시킨 사인함수를 사용할 것이다.

$$ y=\sin x, \qquad -\pi/2\leq x\leq\pi/2 $$

정의역을 \([-\pi/2, \pi/2]\)로 제한시킨 사인함수. 이 정의역이 역사인함수를 정의하는 정의역이 된다.

역함수에서는 정의역과 치역이 서로 바뀌고, 원래 사인함수에서 정의역, 치역은 각각 \([-\pi/2, \pi/2]\), \([-1, 1]\)이므로 그 역함수의

  • 정의역은 \([-1, 1]\)
  • 치역은 \([-\pi/2, \pi/2]\)

가 될 것이고, 역함수의 정의에 의해

$$ x=\sin^{-1}y \Longleftrightarrow y=\sin x $$

가 될 것이다. 따라서 역사인함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

\(-1\leq y\leq 1\)에 대하여 \(y\)의 역사인함수(inverse sine function) \(\sin^{-1}y\)를 아래와 같이 정의한다.

$$ x=\sin^{-1}y \Longleftrightarrow y=\sin x, \quad -\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2} $$

직관적으로 \(\sin^{-1}y\)는 사인 값이 \(y\)가 되는 \(-\pi/2\)와 \(\pi/2\) 사이의 각도이다.

\(\sin^{-1}y\)를 \(\arcsin y\)와 같이 쓰기도 한다. \(\arcsin\)은 아크사인이라고 읽는다.

역사인함수의 그래프는 정의역을 제한시킨 사인함수의 그래프를 \(y=x\)에 대해 대칭시켜주면 된다.

\(y=\sin^{-1}x\)의 그래프. 정의역을 제한시킨 사인함수의 그래프를 \(y=x\)에 대해 대칭시킨 것과 같다.

역코사인함수

\(\sin x\)과 마찬가지로 \(\cos x\)의 역함수를 정의할 때도 \(\cos x\)가 일대일함수가 되도록 정의역을 제한시켜줘야 한다.

\(y=\cos x\)의 그래프. \(\cos x\)도 일반적으로는 일대일함수가 아니므로 정의역을 제한시켜주어야 한다.

위 그림에서 보았을 때 정의역은 \([0, \pi]\)로 제한시켜 주는 게 적절해 보이고, 따라서 우리는 정의역이 \([0, \pi]\), 치역이 \([-1, 1]\)인 코사인함수의 역함수를 역코사인함수로 정의한다.

\(-1\leq y\leq 1\)에 대하여 \(y\)의 역코사인함수(inverse cosine function) \(\cos^{-1}y\)를 아래와 같이 정의한다.

$$ x=\cos^{-1}y\Longleftrightarrow y=\cos x, \quad 0\leq x\leq\pi $$

직관적으로 \(\cos^{-1}y\)는 코사인 값이 \(y\)가 되는 \(0\)과 \(\pi\) 사이의 각도이다.

\(\cos^{-1}y\)를 \(\arccos y\)라고 쓰기도 한다. 그래프는 아래와 같다.

\(y=\cos^{-1}x\)의 그래프.

역탄젠트함수

이번에도 마찬가지로 \(\tan x\)의 정의역을 제한시켜 보자.

\(y=\tan x\)의 그래프. 역함수를 만들기 위해 제한시킨 정의역은 \((-\pi/2, \pi/2)\)가 적절해 보인다.

위 그래프에서 보면 \((-\pi/2, \pi/2)\)로 정의역을 제한하는 게 적절해 보인다. \(\tan x\)는 \(x=\pm\pi/2\)에서는 정의되지 않으므로 이번에는 제한시킨 정의역이 열린 구간임에 유의하자.

\(\tan x\)의 치역은 실수 전체이므로 역탄젠트함수는 실수 전체에서 아래와 같이 정의된다.

\(y\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(y\)의 역탄젠트함수(inverse tangent function) \(\tan^{-1}y\)를 아래와 같이 정의한다.

$$ x=\tan^{-1}y\Longleftrightarrow y=\tan x, \quad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} $$

직관적으로 \(\tan^{-1}y\)는 탄젠트 값이 \(y\)가 되는 \(-\pi/2\)와 \(\pi/2\) 사이의 각도이다. 마찬가지로 \(\tan^{-1}y\)를 \(\arctan y\)로 쓰기도 하며, 그래프는 아래와 같다.

\(y=\tan^{-1}x\)의 그래프. \(y=\pm\pi/2\)를 점근선으로 가진다.

특이한 점은 점근선을 가진다는 것이다. \(y=\tan x\)의 그래프가 \(x=\pm\pi/2\)를 점근선으로 가지므로, \(y=\tan^{-1}x\)의 그래프는 \(y=\pm\pi/2\)를 점근선으로 가진다.

정리

아래 표는 지금까지 살펴본 역삼각함수들을 정리한 것이다.

구분 정의 정의역 치역
역사인함수 \(x=\sin^{-1}y\Longleftrightarrow y=\sin x, \; -\pi/2\leq x\leq\pi/2\) \([-1, 1]\) \([-\pi/2, \pi/2]\)
역코사인함수 \(x=\cos^{-1}y\Longleftrightarrow y=\cos x, \; 0\leq x\leq\pi\) \([-1, 1]\) \([0, \pi]\)
역탄젠트함수 \(x=\tan^{-1}y\Longleftrightarrow y=\tan x, \; -\pi/2< x<\pi/2\) \(\mathbb{R}\) \((-\pi/2, \pi/2)\)

역삼각함수가 포함된 식 계산하기

Cancellation Property

정의역이 \(D\), 치역이 \(R\)인 일대일함수 \(f\)의 역함수 \(f^{-1}\)은 정의역이 \(R\), 치역이 \(D\)이며, 다음을 만족한다.

$$ x=f^{-1}(y)\Longleftrightarrow y=f(x)\;\mathrm{for}\;y\in R $$

여기에서, \(y=f(x)\)에 다시 \(x=f^{-1}(y)\)를 대입하면

$$ y=f(f^{-1}(y))\;\mathrm{for}\;y\in R $$

가 된다. 즉 \(y\)가 역함수의 치역에 있을 때, \(y\)에 \(f^{-1}\)를 씌우고 다시 \(f\)를 씌우면 그대로 \(y\)가 된다. 마찬가지로 다음도 성립한다.

$$ x=f^{-1}(f(x))\;\mathrm{for}\;x\in D $$

즉 자기 자신과 역함수를 합성하면 항등함수가 된다. 이를 역함수가 가지는 cancellation property라고 한다. 이 성질은 삼각함수와 역삼각함수에 대해서도 당연히 성립한다.

역사인함수

역사인함수를 정의할 때 사용한 사인함수의 정의역은 \(D=[-\pi/2, \pi/2]\), 치역은 \(R=[-1, 1]\)이므로 역사인함수에서의 cancellation property는

$$ \sin^{-1}(\sin x)=x\;\mathrm{for}\;-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2} \\ \sin(\sin^{-1}y)=y\;\mathrm{for}\;-1\leq y\leq1 $$

가 된다.

역코사인함수

역코사인함수를 정의할 때 사용한 코사인함수의 정의역은 \(D=[0, \pi]\), 치역은 \(R=[-1, 1]\)이므로 다음이 성립한다.

$$ \cos^{-1}(\cos x)=x\;\mathrm{for}\;0\leq x\leq\pi \\ \cos(\cos^{-1}y)=y\;\mathrm{for}\;-1\leq y\leq1 $$

역탄젠트함수

역탄젠트함수를 정의할 때 사용한 탄젠트함수의 정의역은 \(D=(-\pi/2, \pi/2)\), 치역은 \(R=\mathbb{R}\)이므로

$$ \tan^{-1}(\tan x)=x\;\mathrm{for}\;-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \\ \tan(\tan^{-1}y)=y\;\mathrm{for}\;y\in\mathbb{R} $$

예제 1

$$ \cos(\sin^{-1}x) $$

를 계산해보자. 저건 그대로 저거 아니냐… 라고 생각할 수 있지만

  1. \(\sin^{-1}x\)는 사인 값이 \(x\) 되는 \(-\pi/2\)부터 \(\pi/2\)까지의 각도이고,
  2. \(\cos(\sin^{-1}x)\)는 그 각도의 코사인 값

이다. 따라서 피타고라스 정리를 이용해서 이를 간단하게 나타낼 수 있다. 우선 \(y=\sin^{-1}x\)라고 하고 그림을 그려 보자. \(y\)는 사인 값이 \(x\) 되는 \(-\pi/2\)부터 \(\pi/2\)까지의 각도이다.

\(y=\sin^{-1}x\)임을 직각삼각형을 이용해서 나타낸 그림. \(y\)가 음수가 되면 \(x\)도 음수가 되지만 밑변의 길이는 항상 0 이상이다.

따라서 아래와 같은 직각삼각형을 생각해줄 수 있다. 빗변의 길이를 1이라고 하면 \(x=\sin y\)이므로 높이가 \(x\)가 되고, 피타고라스 정리에 의해 밑변의 길이는 \(\sqrt{1-x^2}\)이 된다. 만약 \(y\)값이 음수가 된다면?

  • \(y\)는 제 4사분면의 각이 되고, 삼각형의 높이 \(x=\sin y\)는 덩달아 음수가 되겠지만
  • 밑변의 길이 \(\sqrt{1-x^2}\)는 음수가 되지 않는다.

따라서 위 직각삼각형은 모든 \(y\)값에 대한 삼각함수의 값을 모두 잘 도출해준다고 볼 수 있겠다. \(\cos(\sin^{-1}x)=\cos y\)이므로 위 그림에서

$$ \cos(\sin^{-1}x)=\cos y=\sqrt{1-x^2} $$

가 된다.

예제 2

이번에는

$$ \tan(\cos^{-1}x) $$

의 값을 구해보자. 마찬가지로 \(y=\cos^{-1}x\)라고 하면 \(\cos y=x\)이고, \(0\leq y\leq\pi\)이다. 이에 해당되는 그림을 그리면 아래와 같다.

\(y=\cos^{-1}x\)임을 나타내는 그림. 만약 \(y\)가 \(\pi/2\)를 넘어가게 되면 밑변의 길이 \(x\)는 음수가 되겠지만, 높이는 그대로 0 이상인 \(\sqrt{1-x^2}\)이 된다.

만약 \(y\)가 \(\pi/2\)를 넘어가게 된다면 \(y\)는 제 2사분면의 각이므로 밑변의 길이는 \(x=\cos y\)로 음수가 되겠지만 높이는 계속 양수로, \(\sqrt{1-x^2}\)를 그대로 써 주어도 된다. 따라서 위 삼각형은 모든 \(y\)에 대해 삼각함수의 값을 잘 구해주는 삼각형이 되고,

$$ \tan(\cos^{-1}x)=\tan y=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $$

가 된다.

예제 3

마지막으로

$$ \sin(\cos^{-1}x+\tan^{-1}y) $$

의 값을 구해보자. 식이 꽤나 복잡해 보이지만, 우리는 삼각함수의 덧셈정리를 써줄 수 있다. 우선

$$ \alpha=\cos^{-1}x, \beta=\tan^{-1}y $$

라고 하면

$$ \cos\alpha=x, \tan\beta=y $$

가 되고, \(0\leq\alpha\leq\pi, -\pi/2<\beta<\pi/2\)이다. 이에 해당되는 그림들을 그려 보면 아래와 같다.

\(\alpha=\cos^{-1}x, \beta=\tan^{-1}y\)임을 설명하는 그림.

이로부터 \(\alpha\)와 \(\beta\)에 대한 삼각함수 값을 모두 구할 수 있게 된다. 이때 삼각함수의 덧셈정리에 의해

$$ \begin{align}\sin(\cos^{-1}x+\tan^{-1}y)&=\sin(\alpha+\beta)\\&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\end{align} $$

가 되고, 위 그림에서

$$ \sin\alpha=\sqrt{1-x^2}, \quad \cos\beta=\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}, \quad \cos\alpha=x, \quad \sin\beta=\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} $$

이므로

$$ \begin{align}\sin(\cos^{-1}x+\tan^{-1}y)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\&=\sqrt{1-x^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+x\cdot\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\\&=\frac{\sqrt{1-x^2}+xy}{\sqrt{1+y^2}}\end{align} $$

이다.

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