11. 음함수의 미분법과 로그미분법

음함수란?

다음 원의 방정식이 있다.

$$ x^2+y^2=1\tag{1} $$

\((0, \pm1)\)과 같이 하나의 \(x\)값에 \(y\)값 2개가 대응되는 경우가 있으므로 이 원은 함수의 그래프가 될 수 없지만, 아래와 같이 두 개의 함수의 그래프를 합친 것으로 나타낼 수는 있다.

$$ y=f(x)=\sqrt{1-x^2}, \qquad y=g(x)=-\sqrt{1-x^2}\tag{2} $$

원 \(x^2+y^2=1\)을 두 개의 함수 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\)의 그래프의 합으로 나타낸 그림. 원 \(x^2+y^2=1\)은 좌표평면에서 양함수 두 개로 분리된다.

여기서 (1)과 같이 \(x\)값이 정해지면 \(x\)와 \(y\)에 관한 방정식에 의해 그에 따른 \(y\)값이 정해질 때 \(y\)는 \(x\)의 음함수(implicit function) 꼴로 표현되어 있다고 하고, (2)와 같이 \(y=f(x)\)와 같이 \(y\)가 직접적으로 \(x\)의 식으로 표현되었을 때 \(y\)는 \(x\)의 양함수(explicit function) 꼴로 표현되어 있다고 한다.

음함수의 미분이 필요한 이유

원 (1) 위의 점 \((1/2,\sqrt{3}/2)\)에서 접선의 기울기는 무엇일까? 이 경우에는 \(y\)를 (2)와 같이 \(x\)의 양함수로 나타내는 것이 가능하므로, 연쇄법칙을 사용해 미분계수를 구해줄 수 있다. 점 \((1/2, \sqrt{3}/2)\)는 (2)의 두 함수 중 \(y=\sqrt{1-x^2}\) 위의 점이므로 도함수는

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$

가 되고, 여기에 \(x=1/2\)를 대입하면 접선의 기울기는

$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

이 된다.

원 \(x^2+y^2=1\)과 그 위의 점 \((1/2, \sqrt{3}/2)\)에서의 접선. 이 경우에는 음함수인 원의 방정식을 양함수 형태로 바꾸어 미분하여 접선의 기울기를 계산할 수 있다.

하지만 양함수로 나타내기 어렵거나 나타낼 수 없는 음함수들도 존재한다. 대표적인 예시가 아래 방정식으로 표현되는 데카르트의 엽선(folium of Descartes)이라고 불리는 곡선이다.

$$x^3+y^3=3axy\qquad(a>0)$$

아래는 \(a=2\)일 때의 그래프이다.

데카르트의 엽선 \(x^3+y^3=6xy\). 이 음함수는 양함수의 형태로 나타내기 무척이나 어렵다.

이를 양함수로 풀어 나타내려면 복잡하기로 유명한 3차방정식의 근의 공식이 필요하다. 아래 함수는 어떨까?

$$\sin(x-\cos{y})=0$$

\(\sin(x-\cos y)=0\)의 그래프. 이런 방정식은 양함수의 꼴로 나타내는 것이 거의 불가능할 것이다.

이는 양함수의 꼴로 나타내는 것이 거의 불가능하다. 즉 대부분의 음함수는 양함수로 나타내는 것이 어렵기 때문에 710편에서 다루었던 양함수의 미분법만으로는 이렇게 다양한 곡선을 분석하기 어렵고, 그렇기에 음함수의 미분법이 필요한 것이다.

음함수의 미분법

\(y\)가 \(x\)의 음함수 꼴로 나타내어져 있을 때, 이의 도함수를 구하는 방법은 아래와 같다.

  1. \(y\)를 \(f(x)\)로 바꾼다.
  2. 양변을 \(x\)로 미분한다.
  3. \(f(x)\)를 \(y\)로, \(f'(x)\)를 \(y’\)으로 바꾼다.
  4. 식을 \(y’\)에 대해 푼다.

예제를 통해 더욱 자세히 살펴보도록 하자.

예제 1

원 (1)로 돌아가서 \(y\)의 도함수를 구해 보자. (1)에서 \(y\)를 \(f(x)\)로 바꾸면

$$ x^2+[f(x)]^2=1 $$

이 되고, 이 상태에서 양변을 \(x\)로 미분하면

$$ 2x+2f(x)f'(x)=0 $$

이제 \(f(x)\)를 \(y\)로, \(f'(x)\)를 \(y’\)으로 바꾸어 주면

$$ 2x+2yy’=0 $$

이 되고, 따라서

$$ y’=-\frac{x}{y}\tag{3} $$

이 된다. 만약 아까와 같이 원 위의 점 \((1/2, \sqrt{3}/{2})\)에서 접선의 기울기를 구해주고 싶다면, (3)에 \(x=1/2, y=\frac{\sqrt{3}}{2}\)를 대입해주면 된다.

$$ y’|_{(1/2, \sqrt{3}/{2})}=-\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}} $$

위에서 구한 결과와 똑같다는 사실을 확인할 수 있다.

또한 그림상 \(y=0\)인 점에서 접선이 수직선이므로 접선의 기울기가 존재하지 않는데, 이는 (3)에서 분모가 0이 되어 미분계수가 존재하지 않는다는 사실로 확인할 수 있다.

예제 2

이번엔 데카르트의 엽선

$$ x^3+y^3=6xy $$

에 대하여 \(y’\)을 구해 보자. 우선 \(y\)를 \(f(x)\)로 바꾸면

$$ x^3+[f(x)]^3=6xf(x) $$

이고, 이 상태에서 양변을 \(x\)로 미분하면

$$ 3x^2+3[f(x)]^2f'(x)=6f(x)+6xf'(x) $$

가 된다. \(f(x)\)를 \(y\)로, \(f'(x)\)를 \(y’\)으로 바꿔 주면

$$ 3x^2+3y^2y’=6y+6xy’ $$

가 되고, 따라서

$$ y’=\frac{2y-x^2}{y^2-2x} $$

가 된다. 이 과정에 익숙해졌면 아래와 같이 \(y\)를 \(f(x)\)로 바꾸지 않고 바로 미분하는 연습을 해 보자.

$$ \begin{align} x^3+y^3=6xy&\Longrightarrow3x^2+3y^2y’=6y+6xy’\\&\Longrightarrow y’=\frac{2y-x^2}{y^2-2x}\end{align} $$

예제 3

이번에는 방정식

$$ \sin(x-\cos y)=0 $$

에서 \(y’\)을 구해 보자. 양변을 \(x\)로 미분하면

$$ \cos(x-\cos y)\cdot(1+(\sin y)y’)=0 $$

이다. 이때 \(\cos(x-\cos y)\neq0\)이 되어 위 식에서 이를 없애줄 수 있는데, 이는 \((x, y)\)가 \(\sin(x-\cos y)=0\) 위의 점이기 때문이다. 제곱 관계 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)을 생각하면, 사인값과 코사인값이 동시에 0이 될 수는 없으니 말이다. 따라서

$$ 1+y’\sin y=0 $$

이 되고, 구하는 도함수는

$$ y’=-\frac{1}{\sin y} $$

가 된다.

고계도함수 구하기

음함수로 표현된 함수, 예컨대 데카르트의 엽선 \(x^3+y^3=6xy\)에서 \(y”\)을 구할 수 있을까? \(y”\)을 구하기 위해서는 주어진 식을 두 번은 미분해야 할 것 같다. 일단 두 번 미분해 보자.

$$ \begin{align} x^3+y^3=6xy&\Longrightarrow3x^2+3y^2y’=6y+6xy’\\&\Longrightarrow6x+6yy’+3y^2y”=6y’+6y’+6xy” \end{align} $$

\(y”\)이 나왔다! 위 식을 \(y”\)에 대해 정리하면

$$ (3y^2-6x)y”=(12-6y)y’-6x $$

가 되는데, 이 식에는 \(y’\)도 포함되어 있으므로 위 예제 2에서 구한 \(y’\)의 식

$$ y’=\frac{2y-x^2}{y^2-2x} $$

를 대입해 주면

$$ (3y-6x)y”=(12-6y)\cdot\frac{2y-x^2}{y^2-2x}-6x=\frac{24y-12y^2}{y^2-2x} $$

가 되고, 따라서

$$ y”=\frac{24y-12y^2}{(y^2-2x)(3y-6x)} $$

가 된다. 같은 방법으로 \(y”’\), \(y^{(4)}\) 등도 구할 수 있다.

계산이 많이 복잡한데… 이 정도의 계산은 앞으로 미적분을 하면서 한없이 많이 등장할 것이다. 익숙해져야 한다.

로그미분법

음함수의 미분법을 활용하는 가장 대표적인 예시가 바로 로그미분법(logarithmic differentiation)이다. 이는 아래와 같이, 밑에 \(x\)의 함수가 들어가 있는 지수 꼴의 함수에 대한 도함수를 구할 때 사용된다.

$$ y=x^n, \qquad y=x^x, \qquad y=(\sin x)^{\cos x} $$

이러한 함수들은 다음과 같은 과정을 거쳐 미분할 수 있다.

  1. 양변에 자연로그를 씌운다.
  2. 음함수의 미분법을 이용해 \(y’\)을 \(x\)와 \(y\)에 관한 식으로 나타낸다.
  3. 2에서 구한 식에서 처음 함수식 \(y=\cdots\)을 대입하여 \(y’\)을 \(x\)만의 식으로 나타낸다.

몇 가지 예시를 살펴보자.

예제 1: \(x^n\)의 미분

우리는 8편에서 여러 가지 미분 공식을 살펴보며 \(n\)이 0이 아닌 실수일 때 함수

$$ y=x^n\tag{4} $$

의 도함수가

$$ y’=nx^{n-1} $$

이 된다고 했었다. 해당 글에서는 \(n\)이 0이 아닌 정수인 경우에 한해서만 증명했으나, 로그미분법을 이용하면 \(n\)이 일반적인 실수인 경우에 증명할 수 있다. 우선 (4)의 양변에 자연로그를 씌우면

$$ \ln y=n\ln x $$

가 되고, 이 상태에서 양변을 \(x\)로 미분해주면

$$ \frac{y’}{y}=\frac{n}{x} $$

따라서 음함수의 미분법에 의해 구한 도함수는

$$ y’=\frac{n}{x}\cdot y $$

이고, 여기에 처음 식 (4)를 대입해주면

$$ y’=\frac{n}{x}\cdot x^n=nx^{n-1} $$

이 된다.

예제 2

이번에는 다음 함수

$$ y=x^x\tag{5} $$

의 도함수를 구해보자. 양변에 자연로그를 씌우면

$$ \ln y=x\ln x $$

가 되고, 이 상태에서 양변을 \(x\)로 미분하면

$$ \frac{y’}{y}=\ln x+1 $$

따라서

$$ y’=y(\ln x+1) $$

여기서 마지막으로 (5)를 대입해주면

$$ y’=x^x(\ln x+1) $$

이 된다.

예제 3

마지막으로 다음 함수

$$ y=(\sin x)^{\cos x}\tag{6} $$

의 도함수를 구해보자. 양변에 자연로그를 씌워 주면

$$ \ln y=\cos x\ln(\sin x) $$

가 되고, 이 상태에서 양변을 \(x\)로 미분해주면

$$ \frac{y’}{y}=-\sin x\ln(\sin x)+\cos x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=-\sin x\ln(\sin x)+\cos^2x\csc x $$

따라서

$$ y’=y(\cos^2x\csc x-\sin x\ln(\sin x)) $$

이고, (6)을 대입해주면

$$ y’=(\sin x)^{\cos x}(\cos^2x\csc x-\sin x\ln(\sin x)) $$

가 된다.

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