22. 정적분(Definite Integrals)과 넓이(Areas)

함수의 그래프 아래 넓이를 어떻게 구할 수 있을까? 미적분에 관심이 있는 사람이라면 “넓이를 구하려면 적분을 해야 된다”는 것쯤은 들어본 적이 있을 것이다. 이번 글에서는 정적분을 정의하는데, 어떻게 정적분의 정의가 나왔냐…라고 물어본다면 그에 대한 답이 바로 맨 첫 문장의 질문이다. 함수의 그래프 아래 넓이를 어떤 방식으로 접근하여 그 정의가 나오는지 유의하며 글을 읽어 보도록 하자.

정적분의 정의

정의에 대한 직관

예를 들어 아래와 같이 생긴 함수 \(f(x)\)의 그래프 아래 넓이를 구하고 싶다고 해 보자.

함수 \(f(x)\)의 그래프와 그 아래 넓이를 표현한 그림. 이 넓이를 어떻게 구할 수 있을까 하는 생각이 정적분 정의의 동기가 된다.

당연하게도 지금 상태로는 이 그래프 아래의 넓이를 구할 수 있는 방법이 없다. 수학에서는 모르는 것이 등장했을 때 이를 종종 아는 것으로 바꾸어 생각하고는 한다. 그러므로 우리는 이 만큼의 영역을 우리가 넓이를 구하는 방법을 알고 있는 직사각형들로 잘라 볼 수 있을 것이다.

함수 \(f(x)\)의 그래프 아래 영역을 각 변이 좌표축에 평행한 직사각형들로 자른 그림. 이 직사각형들의 넓이의 합이 우리가 구하는 넓이와 같다고는 할 수 없지만, 이로부터 정적분을 어떻게 정의할 수 있는지에 관한 키가 나온다.

이런 식으로 넓이를 구하는 구간 \([a, b]\)를 몇 등분하여 더 작은 구간들(subinterval)로 나타낸 후, 각각의 구간 길이를 가로로 갖고, 함숫값을 세로로 갖는 직사각형들로 나누면 그래프 아래의 넓이를 직사각형들의 넓이의 합으로 근사할 수 있게 된다. 이 직사각형들의 넓이의 합을 수식으로 나타내면 아래와 같다.

$$ S_n=\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x $$

이때

  • \(S_n\)은 우리가 넓이를 구하려는 구간 \([a, b]\)를 \(n\)등분하여 총 \(n\)개의 직사각형의 넓이의 합으로 썼다는 이야기이다.
  • 구간 \([a, b]\)를 \(n\)등분한 \(n+1\)개의 점을 \(x_0(=a), x_1, \cdots, x_n(=b)\)이라고 했을 때, \(i\)번째 구간 \([x_{i-1}, x_i]\) 위의 아무 점을 잡아 \(x_i^*\)라고 했다.
  • \(\Delta x\)는 구간 \([a, b]\)를 \(n\)등분한 길이 $$ \Delta x=\frac{b-a}{n} $$이다.
  • 이때 $$ x_i=x_0+i\Delta x=a+\frac{i}{n}(b-a) $$이다.

이렇게 우리는 원래 그래프 아래의 넓이에 대한 근사를 수식으로 나타내는 것까지 성공했다. 이 상태에서 직사각형을 더욱 잘게잘게 쪼갠다면, 즉 \(n\rightarrow\infty\)로 보낸다면 원래 넓이와 완전히 같은 값을 얻을 수 있지 않을까? 여기에서 정적분의 정의가 등장한다.

정적분의 정의

구간 \([a, b]\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)에 대하여 다음 극한

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x $$

이 존재하면 \(f\)는 \([a, b]\)에서 적분가능(integrable)하다고 하고, 그 극한값 \(S\)를 \(a\)에서 \(b\)까지 \(f\)의 정적분(definite integral of \(f\) from \(a\) to \(b\))이라고 한다. 기호로는

$$ \int_a^bf(x)dx=S $$

와 같이 나타낸다.

참고사항

  • 적분 기호 \(\displaystyle\int\)(integral)은 sum의 앞 글자 s를 위아래로 길게 늘어뜨린 것이다. 이는 “직사각형 넓이들을 모두 더한 후 극한을 취한다”는 정적분의 정의와 잘 들어맞는다.
  • \(\displaystyle\int_a^bf(x)dx\)에서 \(f(x)\)를 적분 당해지는 함수라 하여 피적분함수(integrand)라 한다. 뒤의 \(dx\)는 “\(x\)로 적분한다”라는 뜻이며, 따라서 이 표현을 아래와 같이 바꾸어 쓸 수도 있다(즉, 아래 나오는 적분들은 모두 같은 값이다). $$ \int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(y)dy=\int_a^bf(\alpha)d\alpha=\cdots $$

Net area

만약 \(f\)가 \([a, b]\)에서 적분가능하고 항상 양수라면(그래프가 항상 \(x\)축 위에 있다면) \(a\)부터 \(b\)까지 \(f\)의 그래프 아래 넓이는 $$ \int_a^bf(x)dx $$로 정의된다. 하지만 만약 \(f(x)<0\)인 경우가 포함되어 있다면 어떻게 될까? 이때 $$ S_n=\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x $$ 을 계산하는 과정에서, \(f(x)>0\)인 구간은 양수 값들이, \(f(x)<0\)인 구간은 음수 값들이 계속해서 더해지게 될 것이다. \(f(x)>0\)인 구간에서는 해당 구간 그래프 아래 넓이의 근사가 성공적으로 더해지지만, \(f(x)<0\)인 구간에서는 이에 (-) 부호를 붙인 값이 더해지게 된다.

\(f(x)<0\)인 경우를 포함하고 있을 때 \(f\)의 그래프. 이때 정적분은 \(x\)축 위에 있는 부분의 넓이에서 \(x\)축 아래에 있는 부분의 넓이를 뺀 값이 된다.

이 상태에서 \(n\)을 무한대로 보내게 되면 넓이의 근사가 실제 넓이로 바뀌므로 정적분

$$ \int_a^bf(x)dx $$

의 값은 그래프에서 (\(x\)축 위에 있는 부분의 넓이)-(\(x\)축 아래 있는 부분의 넓이)가 되고, 이를 net area라고 한다. 만약 net area가 아닌 실제 넓이를 구하고 싶다면 아래 정적분 값을 계산하면 된다.

$$ \int_a^b|f(x)|dx $$

정의 제대로 이해하기

위의 정의에서 나온 극한 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x $$이 존재하는지는 어떻게 판단할까? 그냥 극한의 정의에 따라 엡실론-N 논법을 사용하면 되지 않느냐… 라고 물어본다면 반은 맞고 반은 틀린 이야기이다. 여기에서는 \(n\)값만 변하는 게 아니기 때문이다.

$$ S_n=\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x $$

위 \(S_n\)의 정의에서 \(x_i^*\)는 구간 \([x_{i-1}, x_i]\) 사이의 아무 점이라고 했으므로, 각 \(x_i^*\)의 선택에 따라 \(S_n\)값이 달라질 수 있다. 따라서 우리는 일반적인 엡실론-N 논법에 \(x_i^*\)의 선택에 관한 조건을 하나 더 추가하여 위 극한의 존재성을 논해야 한다.

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}S_n $$

우선 단순히 엡실론-N 논법을 사용한다면, 위 극한값이 \(S\)로 존재한다는 것은 모든 \(\epsilon>0\)에 대해 적당한 자연수 \(N\)이 존재하여

$$ n>N\Longrightarrow |S_n-S|<\epsilon $$

이 되게 할 수 있다는 뜻이다. 앞서 말했다시피 \(S_n\)은 각 \(x_i^*\)의 선택에 따라 달라질 수 있으므로 우리는 저 극한이 존재한다는 말을 아래와 같이 풀어 쓸 수 있다.

함수 \(f\)가 \([a, b]\)에서 적분가능하다는 것은, 즉 극한

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x $$

가 \(S\)로 존재한다는 것은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해, 적당한 자연수 \(N\)에 존재하여 \(n>N\)이면 각 \(x_i^*\)를 어떻게 선택하냐에 관계없이

$$ |S_n-S|<\epsilon $$

으로 만들 수 있다는 말이다.

처음 들으면 너무 심오하고 이게 무슨 말장난인가… 싶을 것이다. 이 글이 너무 무거워지면 안 되니 적분가능성에 대한 이야기는 여기까지 하도록 하고, 다음 글로 적분가능한 함수와 적분가능하지 않은 함수의 예시를 하나씩 들어 글로 써 볼 것이니 잘 이해가 되지 않는다면 다음 글을 참고하도록 하자.

정적분의 성질

정적분을 정의했으니 이제 기본적인 성질들에 대해 알아보도록 하자. 이 파트에서는

$$ \int_a^bf(x)dx\mathrm{\;는\;}a\mathrm{부터\;}b\mathrm{까지\;}f\mathrm{의\;그래프\;아래\;넓이} $$

라는 생각으로 직관적으로 접근해 보도록 하자.

  1. $$ \int_a^bcf(x)dx=c\int_a^bf(x)dx $$
  2. $$ \int_a^b[f(x)\pm g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx\pm\int_a^bg(x)dx $$
  3. $$ \int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx $$
  4. $$ \int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx $$
  5. $$ \int_a^af(x)dx=0 $$
  6. 구간 \([a, b]\)에서 \(f(x)\geq g(x)\)라면 $$ \int_a^bf(x)dx\geq\int_a^bg(x)dx $$
  7. 구간 \([a, b]\)에서 \(m\leq f(x)\leq M\)이라면 $$ m(b-a)\leq\int_a^bf(x)dx\leq M(b-a) $$

넓이로 정적분 구하기

지금까지 정적분을 이용해 넓이를 정의해 보았으니, 이제 실제 예시로 다양한 함수의 정적분 값을 구해 보자.

예제 1

넓이를 이용해 $$ \int_0^3\sqrt{9-x^2}dx $$의 값을 구해 보자. 이를 위해서는 우선 피적분함수의 그래프가 어떤 식으로 그려지는지를 파악해야 한다. $$ y=\sqrt{9-x^2}\Longrightarrow y^2=9-x^2 \Longrightarrow x^2+y^2=9 $$ 즉 이 피적분함수의 그래프는 원점을 중심으로 하고 반지름이 3인 위쪽 반원이다.

정적분 \(\int_0^3\sqrt{9-x^2}dx\)이 넓이를 구하는 영역을 나타낸 그림. 이는 원점을 중심으로 하고 반지름이 3인 원의 내부 중 \(x\)좌표와 \(y\)좌표가 모두 0 이상인 부분이다.

위 적분식의 의미는 \(x=0\)부터 \(x=3\)까지 해당 그래프 아래 넓이이다. 이는 정확이 원 넓이의 1/4이며, 우리는 원의 넓이를 구하는 공식을 알고 있으므로 위 정적분 값을 구할 수 있게 된다.

$$ \int_0^3\sqrt{9-x^2}dx = \frac{1}{4}\cdot\pi\cdot3^2 = \frac{9\pi}{4} $$

예제 2

이번에는 $$ \int_0^3(x-1)dx $$의 값을 구해보자.

정적분 \(\int_0^3(x-1)dx\)이 넓이를 구하는 영역을 나타낸 그림. 이는 빨간색 삼각형에서 주황색 삼각형의 넓이를 뺀 값이다.

그래프는 위와 같이 단순한 직선으로 나오는데, 이번에는 그래프가 \(x\)축 아래로 내려가는 부분이 있다. 앞서 언급했듯이 이럴 때에는 net area, 즉 \(x\)축 위에 있는 부분의 넓이(빨간색 삼각형)에서 아래에 있는 부분의 넓이(주황색 삼각형)을 빼 주어진 정적분의 값을 구할 수 있다.

$$ \int_0^3(x-1)dx = \frac{1}{2}\cdot2\cdot2-\frac{1}{2}\cdot1\cdot1 = \frac{3}{2} $$

마치며

우리는 이번 글을 통하여 크게 세 가지를 알아보았다.

  1. 함수의 그래프 아래 넓이를 구하는 방법
  2. 정적분의 정의
  3. 정적분의 성질

이 세 가지를 모두 꿰차고 있는 가장 본질적이고 중요한 motivation은 “정적분 = 함수의 그래프 아래 넓이”라는 것이다. 정적분의 정의는 함수의 그래프 아래 넓이를 어떻게 구할 수 있을까 하는 생각으로부터 나온 것이고, 성질은 이 사실로부터 우리가 당연하게 받아들일 수 있는 것이었다. 그리고 바로 위에서는 넓이를 이용해 다양한 함수들의 적분한 값을 구해보기도 하였다. 하지만 우리에게는 아직 풀지 못한 숙제가 남아있다.

$$ \int_0^1x^2dx=? $$

이는 \(x=0\)부터 \(x=1\)까지 포물선 \(y=x^2\)의 그래프 아래 넓이인데, 우리에게는 이를 구할 수 있는 공식이나 방법 같은 게 아직 없다. 사실 위에서 정적분을 저렇게 공들여서 정의한 이유 중 하나는 저렇게 우리가 지금까지는 알 수 없었던 넓이를 구하기 위해서라고 보아도 된다. 저 적분값은 1/3으로, 다다음 글에서 미적분학 기본정리에 대해 다룬 후 구할 수 있을 것이다.

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