9. 초월함수의 미분

8편에서 다양한 미분 공식을 알아봄으로써 웬만한 다항함수, 유리함수, 무리함수를 미분할 수 있게 되었다. 이번 글에서는 초월함수의 미분(삼각함수, 지수함수, 로그함수)을 어떻게 할 수 있는지 알아보도록 하자.

삼각함수의 미분

삼각함수의 기본 공식

삼각함수의 미분공식 유도에 필요한, 고등학교 때 배우는 삼각함수의 기본 공식들이다. 이 글에서는 증명 없이 빠르게 언급만 하고 넘어갈 것이다.

역수 관계, 상제 관계

$$ \csc x=\frac{1}{\sin x}, \qquad \sec x=\frac{1}{\cos x} \\ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x} $$

제곱 관계

\(\sin^2x=(\sin x)^2\)를 뜻한다. 나머지 삼각함수도 마찬가지이다.

$$ \sin^2x+\cos^2x=1, \qquad \tan^2x+1=\sec^2x, \qquad 1+\cot^2x=\csc^2x $$

삼각함수의 덧셈정리

삼각함수의 미분공식을 유도하는 데에는 \(\sin, \cos\)의 덧셈정리만 쓰이긴 하지만 \(\tan\)의 덧셈정리도 같이 적어 보았다.

$$ \begin{align} \sin(x+y)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y \\ \cos(x+y)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y \\ \tan(x+y)&=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y} \end{align} $$

삼각함수의 극한

세 공식 모두 이 글에서뿐 아니라 앞으로 많이 사용하게 될 중요한 극한 공식들이니 꼭 암기하고 가도록 하자.

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1, \qquad \lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}, \qquad \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{x}=1 $$

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1\) 유도

5편에서 샌드위치 정리를 다룰 때에도 유도했던 공식이다. 우선 우극한부터 유도해 보도록 하자. 이를 위해 아래와 같은 그림을 준비한다.

\(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\sin x}{x}=1\)임을 설명하는 그림. 이를 증명함으로써 초월함수의 미분공식의 일종인 삼각함수의 미분공식을 유도할 수 있다.

위 그림에서 \(x\)는 각 \(BOA\)이며, 곡선 \(EA\)는 중심이 \(O\)이고 반지름이 1, 중심각이 \(x\)인 원의 원호이다. 우리는 \(x\)가 \(0\)부터 \(\pi/2\) 사이에 있을 때 위 그림에서

$$ \triangle EOA\leq\mathrm{부채꼴}\;EOA\leq\triangle BOA $$

임을 안다. 넓이 공식을 이용하여 이를 \(x\)의 식으로 나타내면

$$ \frac{1}{2}\sin x\leq\frac{1}{2}x\leq\frac{1}{2}\tan x=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} $$

가 되고, 이 부등식을 \(\sin x/x\)에 대해서 풀면

$$ \cos x\leq\frac{\sin x}{x}\leq1 $$

이 된다. 이때 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0+}\cos x=\lim_{x\rightarrow0+}1=1\)이므로 샌드위치 정리에 의해

$$ \lim_{x\rightarrow0+}\frac{\sin x}{x}=1\tag{1} $$

이 된다. 이제

$$ \lim_{x\rightarrow0-}\frac{\sin x}{x}=1 $$

임을 보여 보자. \(t=-x\)라고 하면 \(x\rightarrow0-\)일 때 \(t\rightarrow0+\)이고 \(\sin(-t)=-\sin t\)이므로 (1)에 의해

$$ \lim_{x\rightarrow0-}\frac{\sin x}{x}=\lim_{t\rightarrow0+}\frac{\sin(-t)}{-t}=\lim_{t\rightarrow0+}\frac{\sin t}{t}=1\tag{2} $$

이 된다. (1)과 (2)를 종합하면 우리가 원하는 등식인

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1\tag{3} $$

을 얻는다.

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\) 유도

삼각함수의 제곱 관계 \(\sin^2x+\cos^2x=1\)과 식 (3)을 이용한다. 우선 분자와 분모에 \(1+\cos x\)를 곱해주면

$$ \begin{align}\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{x^2}&=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\frac{1+\cos x}{1+\cos x}\\&=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos^2x}{x^2(1+\cos x)}\\&=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin^2x}{x^2}\cdot\frac{1}{1+\cos x}\end{align} $$

이때 극한의 성질에 의해

$$ \begin{align}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin^2x}{x^2}&=\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\\&=\left(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}\right)^2=1\\\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{1+\cos x}&=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\end{align} $$

이므로, 다시 극한의 성질에 의해

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin^2x}{x^2}\cdot\frac{1}{1+\cos x}=1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2} $$

가 된다.

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{x}=1\) 유도

삼각함수의 상제 관계 \(\displaystyle\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)를 이용해 간단하게 증명할 수 있다.

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{\cos x\cdot x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}=1\cdot1=1 $$

삼각함수의 미분공식 유도

이제 모든 준비를 마쳤으니 여섯 개의 삼각함수

$$ \sin x, \quad \cos x, \quad \tan x, \quad \csc x, \quad \sec x, \quad \cot x $$

에 대한 도함수를 모두 구해보자.

\(\sin x\)의 도함수

도함수의 정의를 이용하면

$$ \frac{d}{dx}\sin x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} $$

이다. 여기에서 삼각함수의 덧셈정리에 의해

$$ \begin{align}\frac{d}{dx}\sin x&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow0}\left(\sin x\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h}\right)\\&=\sin x\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h}\end{align} $$

이때 위에서 유도했던 삼각함수의 극한 공식에 의해

$$ \lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos h-1}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{1-\cos h}{h^2}\cdot(-h)=0, \qquad\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h}=1 $$

이므로

$$ \frac{d}{dx}\sin x=\sin x\cdot0+\cos x\cdot1=\cos x $$

가 된다.

\(\cos x\)의 도함수

\(\cos x\)의 도함수도 \(\sin x\)의 도함수와 똑같은 방법으로 구할 수 있다. 도함수의 정의와 삼각함수의 덧셈정리, 삼각함수의 극한 공식을 차례대로 사용해 주면

$$ \begin{align}\frac{d}{dx}\cos x&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow0}\left(\cos x\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\frac{\sin h}{h}\right)\\&=\cos x\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h}\\&=\cos x\cdot0-\sin x\cdot1\\&=-\sin x\end{align} $$

가 나온다.

나머지 삼각함수의 도함수

\(\sin x\), \(\cos x\)의 도함수를 구한 순간 나머지 함수들의 도함수는 삼각함수의 역수, 상제 관계와 8편에서 살펴보았던 몫의 미분법을 사용해 구할 수 있다. 몫의 미분법은 간단하게 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$ \left(\frac{f}{g}\right)’=\frac{f’g-fg’}{g^2}\tag{4} $$

삼각함수의 도함수를 구하는 데에는 분자가 1인 형태의 분수식의 미분이 많이 등장한다. (4)에서 \(f=1\)을 대입해 주면

$$ \left(\frac{1}{g}\right)’=\frac{(1)’g-1\cdot g’}{g^2}=-\frac{g’}{g^2}\tag{5} $$

가 된다. 이 공식을 기억해 놓고 있도록 하자.

우선 \(\displaystyle\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)임을 이용하여 \(\tan x\)의 도함수부터 구해 주자. (4)에 의해

$$ \begin{align}\frac{d}{dx}\tan x&=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)\\&=\frac{(\sin x)’\cos x-\sin x(\cos x)’}{\cos^2x}\\&=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}\\&=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}\\&=\frac{1}{\cos^2x}\\&=\sec^2x\end{align} $$

이제 \(\csc x\), \(\sec x\), \(\cot x\)의 도함수는 모두 역수 관계와 (5)를 이용하여 구할 수 있다.

$$ \begin{align}\frac{d}{dx}\csc x&=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin x}\right)\\&=-\frac{(\sin x)’}{\sin^2x}\\&=-\frac{\cos x}{\sin^2x}\\&=-\frac{1}{\sin x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}\\&=-\csc x\cot x\\\\\frac{d}{dx}\sec x&=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos x}\right)\\&=-\frac{(\cos x)’}{\cos^2x}\\&=-\frac{-\sin x}{\cos^2x}\\&=\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}\\&=\sec x\tan x\\\\\frac{d}{dx}\cot x&=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\tan x}\right)\\&=-\frac{(\tan x)’}{\tan^2x}\\&=-\frac{\sec^2x}{\tan^2x}\\&=-\frac{1/\cos^2x}{\sin^2x/\cos^2x}\\&=-\frac{1}{\sin^2x}\\&=-\csc^2x\end{align} $$

정리

지금까지 유도한 삼각함수의 미분공식을 정리해 보았다.

$$ \frac{d}{dx}\sin x=\cos x \qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x \qquad \frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x \\ \frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x \qquad \frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x \qquad \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x $$

삼각함수의 미분을 쉽게 외우기 위한 육각형 그림. 육각형에서 마주보는 꼭짓점은 역수 관계이고, co-가 붙은 삼각함수를 미분하면 (-)가 붙는다.
사진 출처: 나무위키

위의 육각형을 기억하면 쉽게 외울 수 있을 것이다. 이를 말로 설명하면 아래와 같다. 편의를 위해 \(\sin, \cos\)을 기본, \(\tan, \cot\)를 비율, \(\sec, \csc\)를 역수라고 부르자.

  1. \(\cos, \cot, \csc\)와 같이 앞에 \(\mathrm{co-}\)가 붙는 함수는 미분하면 (-)가 붙는다. 아래 2번부터 4번까지는 모두 (-)가 붙느냐 아니냐를 무시한 내용이다.
  2. 기본을 미분하면 서로를 교환한다.
  3. 비율를 미분하면 같은 종류(\(\mathrm{co-}\)가 붙음/안 붙음)에 해당하는 역수의 제곱이 나온다.
  4. 역수를 미분하면 같은 종류에 해당하는 역수×비율이 나온다.

말로 설명하기 굉장히 어려운 규칙인데, 이 글을 읽고 대충이라도 감을 잡으면 좋을 것 같다.

지수함수, 로그함수의 미분

지수함수, 로그함수의 극한

이 글에서 지수함수, 로그함수의 미분공식 유도에 사용할 극한 공식은 아래와 같이 세 가지이다.

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 \qquad \lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1}{x}=1 \qquad \lim_{x\rightarrow0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a $$

이들을 유도하기 위해 자연상수 \(e\)의 정의 중 다음을 사용할 것이다. 아래 그림을 참고하라.

$$ e=\lim_{x\rightarrow-0}(1+x)^{1/x}\tag{6} $$

\(y=(1+x)^(1/x)\)의 그래프. \(x\)가 0에 가까워질 때의 극한값이 \(e\)가 된다.

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\) 유도

(6)을 사용한다. \(\ln\)은 연속함수이므로

$$ \begin{align}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x)}{x}\\&=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}\ln(1+x)\\&=\lim_{x\rightarrow0}\ln\left[(1+x)^{1/x}\right]\\&=\ln\left[\lim_{x\rightarrow0}(1+x)^{1/x}\right]\\&=\ln e\\&=1\end{align}\tag{7} $$

이 된다.

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1}{x}=1\) 유도

(7)을 사용한다. \(t=e^x-1\)이라 하면 \(x=\ln(1+t)\)가 되고, \(x\rightarrow0\)일 때 \(t\rightarrow0\)이다. 따라서

$$ \begin{align}\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1}{x}&=\lim_{t\rightarrow0}\frac{t}{\ln(1+t)}\\&=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{\ln(1+t)/t}\\&=\frac{1}{\lim_{t\rightarrow0}\left[\ln(1+t)/t\right]}\\&=1\end{align}\tag{8} $$

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a\) 유도

(8)을 사용한다. \(a^x=\left(a^{\ln e}\right)^x=\left(e^{\ln a}\right)^x=e^{x\ln a}\)이므로

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x\ln a}\cdot\ln a $$

인데, 이때 \(t=x\ln a\)를 대입하면 \(x\rightarrow0\)일 때 \(t\rightarrow0\)이므로

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x\ln a}\cdot\ln a=\lim_{t\rightarrow0}\frac{e^t-1}{t}\cdot\ln a=1\cdot\ln a=\ln a $$

가 되어 원하는 결과를 얻는다.

지수함수, 로그함수의 미분공식 유도

이번 파트에서는 앞서 구했던 지수함수, 로그함수의 극한을 이용하여

$$ e^x, \qquad a^x, \qquad \ln x, \qquad \log_a x $$

의 도함수를 구해볼 것이다.

\(e^x\)의 도함수

도함수의 정의에 의해

$$ \begin{align}\frac{d}{dx}e^x&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow0}e^x\cdot\frac{e^h-1}{h}\\&=e^x\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^h-1}{h}\end{align} $$

여기서 지수함수의 극한 공식

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1}{x}=1 $$

에 의해

$$ \frac{d}{dx}e^x=e^x\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^h-1}{h}=e^x\cdot1=e^x $$

즉 자연상수를 밑으로 하는 지수함수 \(e^x\)는 미분하면 자기 자신이 된다!

\(a^x\)의 도함수

\(e^x\)의 도함수를 구하는 과정과 똑같다. 대신 여기에서는 지수함수의 극한 공식

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1}{x}=1 $$

대신

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a $$

를 사용한다.

$$ \begin{align}\frac{d}{dx}e^x&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow0}a^x\frac{a^h-1}{h}\\&=a^x\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}\\&=a^x\ln a\end{align} $$

\(\ln x\)의 도함수

$$ \begin{align}\frac{d}{dx}\ln x&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\ln((x+h)/x)}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\ln(1+h/x)}{h/x}\cdot\frac{1}{x}\end{align} $$

여기서 \(t=h/x\)라 하면 \(h\rightarrow0\)일 때 \(t\rightarrow0\)이므로

$$ \frac{d}{dx}\ln x=\lim_{t\rightarrow0}\frac{\ln t}{t}\cdot\frac{1}{x}=1\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x} $$

\(\log_ax\)의 도함수

로그의 밑 변환 공식(change of base formula)과 \(\ln x\)의 도함수를 이용해 구할 수 있다. 밑 변환 공식에 의해

$$ \log_ax=\frac{\ln x}{\ln a} $$

이므로,

$$ \frac{d}{dx}\log_ax=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)=\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x\ln a} $$

가 된다.

초월함수의 미분 공식 정리

지금까지 삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분에 대해 살펴보았다. 이 글에서 나온 미분 공식들을 정리하면 아래와 같다.

삼각함수의 미분

$$ \frac{d}{dx}\sin x=\cos x \qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x \qquad \frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x \\ \frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x \qquad \frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x \qquad \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x $$

지수함수의 미분

$$ \frac{d}{dx}e^x=e^x \qquad \frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a $$

로그함수의 미분

$$ \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x} \qquad \frac{d}{dx}\log_ax=\frac{1}{x\ln a} $$

Leave a Comment