20. 함수의 그래프 그리기

우리는 저번 세 편의 글을 통해 함수의 그래프에서 나타나는 함수의 다양한 특징에 대해 알아보았다. 17편에서는 도함수를 통해 원함수의 증가와 감소, 그리고 극대와 극소가 되는 점이 어디인지를 알 수 있다는 점을 살펴보았고, 18편에서는 이계도함수를 통해 원함수의 오목, 볼록과 변곡점, 19편에서는 극한을 통해 함수의 점근선들을 그려 보았다. 이러한 특징들은 함수의 그래프가 어떤 형태를 띠고 있는지와 상당히 깊은 연관이 있으며, 그래프를 그릴 때 반드시 살려야 하는 중요한 디테일들이다. 이번 글에서는 일반적인 함수의 그래프를 어떻게 그릴 수 있는지에 대한 가이드라인을 제시한다.

함수의 그래프를 그리는 법

다음 함수

$$ f(x)=\frac{x^3}{x^2-4} $$

를 예시로 가이드라인을 하나씩 살펴보자.

1. 정의역(domain)

그래프를 그릴 때 가장 먼저 살펴봐야 하는 것은 다름 아닌 정의역이다. 아래를 참고하여 함수가 정의되는 값과 정의되지 않는 값들을 먼저 구별해 놓자.

  • 분모가 0이 되면 안된다.
  • \(\displaystyle\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, \sec x=\frac{1}{\cos x}\) 등 특정 삼각함수는 분수 형태라는 점을 주의하자.
  • 짝수근호(\(\sqrt{\cdot}, \; \sqrt[4]{\cdot}\, \; \sqrt[6]{\cdot}, \; \cdots\))가 있다면 그 안에 있는 식은 0 이상이어야 한다.
  • 로그가 있다면 그 진수는 양수여야 한다.
  • 역삼각함수의 정의역은 다음과 같다: $$ \sin^{-1}x: \; [-1, 1], \qquad \cos^{-1}x: \; [-1, 1], \qquad \tan^{-1}x: \; \mathbb{R} $$

$$ f(x)=\frac{x^3}{x^2-4} $$

에서 \(f\)의 정의역은 분모가 0이 되는 \(x=\pm2\)를 제외한 모든 실수의 집합,

$$ (-\infty, -2)\cup(-2, 2)\cup(2, \infty) $$

이다.

2. 절편(intercepts)

함수의 그래프에서 가장 중요한 점이 있다면 바로 \(x\)절편(\(x\)-intercepts)과 \(y\)절편(\(y\)-intercepts)이다. 이들을 모두 찾아주자. 위에서 보았던 함수 \(f(x)\)에 대해

  • \(\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}=0\)에서 \(x\)절편은 0
  • \(x=0\)을 대입하면 \(f(0)=0\)에서 \(y\)절편은 0

이다. 이렇게 구한 절편들을 먼저 찍어 준다.

함수 \(f(x)\)의 그래프를 그리기 위해 \(x\)절편과 \(y\)절편을 먼저 찍어준 모습.

3. 대칭성(symmetry)

함수가 특정 조건을 만족한다면 그래프를 그리기가 훨씬 쉬워진다. 아래 조건 중 만족하는 게 있는지 확인해보도록 하자. 함수 \(f(x)\)가

  • 모든 \(x\)에 대해 \(f(-x)=-f(x)\)를 만족한다면 \(f\)를 기함수(odd function)라고 하며, 그래프는 원점에 대해 대칭이다.
  • 모든 \(x\)에 대해 \(f(-x)=f(x)\)를 만족한다면 \(f\)를 우함수(even function)라고 하며, 그래프는 \(y\)축에 대해 대칭이다.
  • 모든 \(x\)에 대해 \(f(x+p)=f(x)\)를 만족하는 양수 \(p\)가 존재한다면 \(f\)를 주기함수(periodic function)라고 하며, 이러한 양수들 중 가장 작은 값을 주기(period)라고 한다. 그래프는 한 주기에 대한 그래프를 양옆으로 무한히 이어붙인 형태가 된다.

함수가 기함수나 우함수인 경우에는 \(x\geq0\)인 부분만 그린 후 대칭시키면 되고, 주기함수인 경우에는 한 주기만 그린 후 양옆으로 무한히 이어붙이면 된다.

주어진 함수 \(f(x)\)는 주기함수는 명확히 아닌 것 같고… 기함수나 우함수인지를 확인하기 위해 \(x\) 대신 \(-x\)를 대입하면

$$ f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2-4}=\frac{-x^3}{x^2-4}=-f(x) $$

가 되므로 \(f\)는 기함수이다. 따라서 그래프는 \(x\geq0\)인 부분만 그리고 원점에 대해 대칭시켜주면 된다(이 경우 전체를 그리는 게 어렵지 않아서 그래프 전체를 그린 후 기함수가 되는지 확인하는 용도로 사용할 것이지만, 전체를 그리는 게 어려운 경우 이 방법을 사용해 보자).

4. 점근선(asymptotes)

19편에 등장했던 내용들을 토대로 함수에 수직 점근선, 수평 점근선, 경사 점근선 등이 있는지 확인한다. 주어진 함수

$$ f(x)=\frac{x^3}{x^2-4} $$

와 같은 경우에는 분모가 0이 되는 \(x=\pm2\)에서 함숫값이 양/음의 무한대로 발산할 것이므로 수직 점근선

$$ x=\pm2 $$

가 될 것이다. 또한 분자가 분모보다 차수가 큰 유리함수이므로 분자를 분모로 나누어 보면

$$ x^3=(x^2-4)\cdot x+4x $$

가 되고, 따라서

$$ f(x)=\frac{(x^2-4)x+4x}{x^2-4}=x+\frac{4x}{x^2-4} $$

가 되어

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}[f(x)-x]=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{4x}{x^2-4}=0 $$

이므로 \(y=x\)를 경사 점근선으로 갖는다. 이들을 보조선으로 미리 그려 주자.

함수 \(f(x)\)의 그래프를 그리기 위해 \(x\)절편, \(y\)절편과 점근선까지 그려 준 모습. 이를 토대로 함수의 그래프를 그리면 된다.

점근선을 그릴 때 점근선 근처에서 함수의 경향성까지 미리 알아보는 것이 좋다. 우선 수직 점근선의 경우

$$ \begin{align} \lim_{x\rightarrow-2-}f(x)=-\infty &\qquad \lim_{x\rightarrow-2+}f(x)=\infty \\ \lim_{x\rightarrow2-}f(x)=-\infty &\qquad \lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\infty \end{align} $$

이고, 경사 점근선의 경우

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}[f(x)-x]=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{4x}{x^2-4}=0+ \\ \lim_{x\rightarrow-\infty}[f(x)-x]=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{4x}{x^2-4}=0- $$

이므로, 이 경향성들을 먼저 스케치해 주자.

점근선 근처의 극한을 토대로 한 함수 \(f(x)\)의 그래프의 초기 스케치.

5. 증가/감소와 극대, 극소점(increase/decrease and local extrema)

이제 본격적으로 함수의 그래프를 그려 볼 건데, 함수의 증가/감소, 극대점과 극소점은 모두 함수의 그래프에서 눈에 띄게 잘 나타나는 성질이기 때문에 그래프에 이들을 표시하는 것은 매우 중요하다. 17편에서도 살펴보았듯이 이를 알기 위해서는 미분을 한 번 해야 한다.

$$ f'(x)=\frac{x^4-12x^2}{(x^2-4)^2} $$

인데, 우선 분모는 제곱이 붙어 있기 원함수가 정의되는 이상 항상 양수이므로 분자의 부호만 체크해주면 된다.

$$ x^4-12x^2=(x^2-12)x^2 $$

이므로 \(f'(x)=0\) 되는 점은 \(0, \pm2\sqrt{3}\)이고, 이들을 기준으로 구간을 나누어 증감표를 만들어주면 아래와 같다.

\(x\) \(\cdots\) \(-2\sqrt{3}\) \(\cdots\) \(0\) \(\cdots\) \(2\sqrt{3}\) \(\cdots\)
\(f'(x)\) (+) 0 (-) 0 (-) 0 (+)
\(f(x)\) 증가 극대 감소   감소 극소 증가

비록 \(x=0\)에서 미분계수가 0이지만, 이를 기점으로 도함수의 부호가 바뀌지 않으므로 \(x=0\)은 극대나 극소가 되는 점이 아니다. 이제 여기까지 왔으면 그래프의 대략적인 개형은 머릿속으로 생각할 수 있을 것이다. 극대점과 극소점의 좌표는 미리 계산해 두자.

$$ f(-2\sqrt{3})=-3\sqrt{3}\;\Longrightarrow\;\mathrm{극대점}\;(-2\sqrt{3}, -3\sqrt{3}) \\ f(2\sqrt{3})=3\sqrt{3}\;\Longrightarrow\;\mathrm{극소점}\;(2\sqrt{3}, 3\sqrt{3}) $$

6. 오목/볼록과 변곡점(concavity and inflection points)

마지막으로 살펴볼 것은 미분을 한 번 더 해 오목/볼록까지 체크하는 것이다. \(f\)를 한 번 더 미분하면

$$ f”(x)=\frac{8x^3+96x}{(x^2-4)^3} $$

이 나오는데, 이 이계도함수의 부호가 원함수의 오목과 볼록을 결정한다. 분자는

$$ 8x(x^2+12) $$

와 같이 인수분해되므로 \(x<0\)일 때 음수, \(x>0\)일 때 양수이며, 분모는 \(x^2-4\)와 부호가 같으므로 \(-2<x<2\)일 때 음수, \(x<-2, x>2\)일 때 양수이다. 따라서 \(x=-2, 0, 2\)를 기준으로 구간을 나누어 오목/볼록에 관한 표를 만들어 보면

\(x\) \(\cdots\) \(-2\) \(\cdots\) \(0\) \(\cdots\) \(2\) \(\cdots\)
\(f”(x)\) (-)   (+) 0 (-)   (+)
\(f(x)\) 위로 볼록   아래로 볼록 변곡점 위로 볼록   아래로 볼록

변곡점의 좌표도 미리 계산해 두자. 이 경우에는 원점이 된다.

7. 그리기(sketch)

함수의 그래프를 그리기 위한 모든 정보를 알아내었으니 이제 그리기만 하면 된다. 특히 5번과 6번에서 구한 정보들에 착안하여 4번에서 그렸던 스케치에 살을 붙여 주도록 하자.

함수 \(f(x)\)의 그래프.

이런 그래프가 나왔다면 성공이다. 3번에서 \(f(x)\)가 우함수라는 사실을 얻었는데, 실제로 그려 보니 정말 원점 대칭이 되는 함수임을 확인할 수 있다. 극대점의 좌표와 극소점의 좌표가 \((\pm2\sqrt{3}, \pm3\sqrt{3})\)가 되도록 그려주는 것도 잊지 말자.

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