1. 함수의 극한(Limit of a Function)

함수의 극한

예시

여기 하나의 함수가 있다.

$$ f(x)=x^2 $$

\(x=0\)에서의 함숫값은 얼마인가? 당연히 0이다. 그렇다면 이번에는 이렇게 물어보자.

\(x\)가 0에 가까워질 때, \(f(x)\)는 어떤 값에 가까워지는가?

아래 \(y=f(x)\)의 그래프를 보면 알 수 있듯이, \(f(x)\)는 0에 가까워진다.

\(y=f(x)\)의 그래프. \(x\)가 0에 가까워질 때 \(f(x)\)는 0에 가까워진다.

이번에는 다음 함수를 살펴보자.

$$ g(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & (x=0) \\ x^2 & (x\neq0) \end{array}\right. $$

\(y=g(x)\)의 그래프는 아래 그림과 같을 것이다.

\(y=g(x)\)의 그래프. \(y=x^2\)의 그래프에서 \(x=0\)일 때만 구멍이 뚫려 있고, \(x=0\)일 떄의 함숫값은 1이므로 이를 점으로 표시해 준 모양이다.

이 함수의 \(x=0\)에서 함숫값은 얼마인가? 이번에는 0이 아닌 1이다. 그렇다면 \(x\)가 0에 가까워질 때 \(g(x)\)는 어떤 값에 가까워지는가? \(x\)가 0에 가까워질 때를 보려면, \(x=0\)일 때가 아닌 0 근처의 값에서 함수가 어떻게 생겼는지를 보아야 한다. 비록 \(x=0\)일 때의 함숫값은 1이지만, \(x\)가 0 근처의 값에서 0에 가까워질 때는 \(g(x)\)가 여전히 0에 가까워진다.

극한의 정의

앞선 예시에서 보았듯이, 어떤 함수의 “\(x=0\)에서의 함숫값”과 “\(x=0\)에 가까워질 때 함수가 가까워지는 값”은 서로 다를 수 있다. 앞으로 미적분을 하기 위해서는 전자보다 후자가 훨씬 중요하며, 따라서 그 값을 새로 정의해야 할 필요가 생긴다. 함수의 극한은 다음과 같이 정의할 수 있다.

실수 \(a\)와 \(a\) 근처(\(a\)는 제외 가능)에서 정의된 함수 \(f(x)\)에 대해, \(x\)가 \(a\)에 한없이 가까워질 때 \(f(x)\)가 어떤 실수 \(L\)에 한없이 가까워진다면 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 \(L\)에 수렴한다고 하고, 기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L $$

이때 \(L\)을 \(x=a\)에서 \(f(x)\)의 극한값이라고 한다.

이 정의에서 딱 한 가지 모호한 부분이 있다. \(a\) 근처란 어디를 뜻하는 것일까? 이를 이해하기 위해 몇 가지 예시를 들어보자.

  • 가령 \(f\)가 반열린 구간 \((-\infty, a-1]\)에서 정의된 함수라고 해보자. 이 정의역 안에서 \(a\)와 제 가까운 값은 \(a-1\)이다. 따라서 \(x\)는 \(a\)와의 거리가 1이 될 때까지는 가까워질 수 있으나, 그 이상으로는 가까워질 수 없다. 즉 “한없이” 가까워질 수는 없다.
  • 이번에는 \(f\)가 열린 구간 \((a-1, a+1)\)에서 정의되었다고 해보자. 이 정의역 안에서 \(x\)와 \(a\)의 거리가 1보다 작아질 수 있을까? 있다. 0.5보다 작아질 수 있을까? 있다. 0.0000001보다 작아질 수 있을까? 여전히 가능하다. 이렇게 아무리 작은 양수를 갖다 대도 \(x\)와 \(a\) 사이의 거리가 그것보다 작아질 수 있다는 것이 핵심이다. 실제로 이 경우에는 \(x\)가 \(a\)에 가까워질 때의 극한이 정의될 수 있다.
  • 위에서와 같은 맥락으로, \(f\)가 아주 작은 열린 구간 \((a-10^{-100}, a+10^{-100})\)에서 정의되었다고 해도 \(x\)가 \(a\)에 가까워질 때의 극한이 정의될 수 있다.
  • 이번에는 \(f\)가 반열린 구간 \((a-1, a]\)에서 정의되었다고 해보자. 여전히 아무리 작은 양수를 갖다 대도 \(x\)와 \(a\) 사이의 거리는 그것보다 작아질 수 있다. 하지만 \(x\)가 \(a\)에 가까워지는 방법은 왼쪽에서 가까워지는 방법과 오른쪽에서 가까워지는 방법, 두 가지이다. 일반적으로 극한의 정의는 이 두 방법이 모두 존재해야만 성립한다. 하지만 이 때는 \(x\)가 \(a\)의 오른쪽에서 \(a\)에 가까워질 수 없다. 따라서 이 경우 \(x\)가 \(a\)에 가까워질 때의 극한이 정의되지 않는다.

\(x\)가 \(a\)에 가까워지는 방법 두 가지를 수직선으로 표현한 그림. 일반적으로 함수의 정의역 안에서 이 두 방법이 모두 가능해야 함수의 극한이 정의된다.

위에서 말했던 내용을 하나로 요약해 본다면, 함수 \(f\)가 \(a\) 근처에서 정의되었다는 말은 \(f\)의 정의역 안에 \(a\)를 포함한 열린 구간을 잡을 수 있다는 말이다. \(f\)가 \(a\)를 포함한 적당한 열린 구간에서 정의된다면 \(x\)가 \(f\)의 정의역 안에서 \(a\)의 왼쪽에서도, 오른쪽에서도 \(a\)에 한없이 가까워질 수 있으므로 극한이 정의될 수 있다.

지금까지 본문에서 “한없이 가까워진다”는 표현을 계속 사용하였는데, 이는 수학적으로 애매한 표현이다. 2편에서 다룰 엡실론-델타 논법은 극한을 수학적으로 엄밀하게 정의하여 이러한 애매함을 없앤다.

좌극한과 우극한

예시

예를 들어 다음과 같은 함수의 \(x=0\)에서의 극한값이 무엇인지 알아보자.

$$ h(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & (x\geq0) \\ 0 & (x<0) \end{array}\right. $$

앞서 살펴보았듯이 \(x=0\)에서의 극한값을 살펴보기 위해서는 \(x\)가 0에 한없이 가까워질 때 \(h(x)\)는 어디에 가까워지는지를 보아야 하고, \(x\)가 0에 가까워지는 방법은 왼쪽과 오른쪽에서 가까워지는 방법, 두 가지이다.

\(y=h(x)\)의 그래프. \(x\)가 0의 왼쪽에서 가까워질 때는 \(h(x)=0\)이지만, 오른쪽에서 가까워질 때는 \(h(x)=1\)이다.

위 \(y=h(x)\)의 그래프에서 볼 때, \(x\)가 0의 왼쪽에서 가까워질 때는 \(h(x)=0\)이므로 0에 가까워진다고 볼 수 있고, 오른쪽에서 가까워질 때는 \(h(x)=1\)이므로 1에 가까워진다고 볼 수 있다. 이 경우 \(x=0\)에서의 극한값은 얼마일까? 정답은 존재하지 않는다이다. 하지만 최소한 0의 왼쪽에서 올 때와 오른쪽에서 올 때 각각의 극한값은 존재하므로, 우리는 이들을 따로 정의해볼 수 있을 것이다.

좌극한

함수의 좌극한은 다음과 같이 정의할 수 있다. “\(x\)가 \(a\)의 왼쪽에서 가까워진다”는 표현을 “\(x\)가 \(a\)보다 작은 상태에서 \(a\)에 가까워진다”는 표현으로 대체하였다.

실수 \(a\)와 함수 \(f(x)\)에 대해, \(x\)가 \(a\)보다 작은 상태에서 \(a\)에 한없이 가까워질 때 \(f(x)\)가 어떤 실수 \(L\)에 한없이 가까워진다면 \(L\)을 \(x=a\)에서 \(f(x)\)의 좌극한이라 하고, 기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow a-}f(x)=L $$

이 정의에 의해 \(x=0\)에서 \(h(x)\)의 좌극한은 0이 된다.

우극한

위의 똑같은 방식으로 정의할 수 있다.

실수 \(a\)와 함수 \(f(x)\)에 대해, \(x\)가 \(a\)보다 큰 상태에서 \(a\)에 한없이 가까워질 때 \(f(x)\)가 어떤 실수 \(L\)에 한없이 가까워진다면 \(L\)을 \(x=a\)에서 \(f(x)\)의 우극한이라 하고, 기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow a+}f(x)=L $$

정의에 의해 \(x=0\)에서 \(h(x)\)의 우극한은 0이 된다.

극한이 존재할 조건

\(x=0\)에서 \(h(x)\)의 좌/우극한은 모두 존재하지만, 극한은 존재하지 않는다. 그 이유는 두 값이 다르기 때문이다. 극한이 존재하려면 \(x\)가 어느 방향에서 0에 가까워지던 \(h(x)\)가 가까워지는 값은 항상 같아야 한다. 따라서 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

함수 \(f(x)\)의 \(x=a\)에서의 극한값 \(L\)이 존재하기 위한 필요충분조건은 \(f(x)\)의 \(x=a\)에서의 좌극한과 우극한이 같은 것이다.

무한 극한

예시

이번에는 다음과 같은 함수를 생각해보자.

$$ i(x)=\frac{1}{x^2} $$

이 함수의 그래프는 아래와 같은 모양을 하고 있다.

\(y=i(x)\)의 그래프. \(x\)가 0에 가까워질 때는 \(i(x)\)가 한없이 커지며, 반대로 \(x\)가 한없이 커질 때는 \(i(x)\)가 0에 가까워진다.

이 함수는 \(x\)가 0에 한없이 가까워질 때, 그 방향(왼쪽/오른쪽)에 상관없이 그 함숫값이 한없이 커진다. 비록 어떤 값에 한없이 가까워지는 것은 아니지만, 우리가 잘 알고 있는 무한대(\(\infty\)) 기호를 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있지 않을까?

$$ \lim_{x\rightarrow0}i(x)=\infty $$

이번에는 \(x\)가 어떤 값에 가까워지는 게 아닌, 한없이 커지는 상황에서 \(i(x)\)가 어떻게 되는지 살펴보자. 분모인 \(x\)가 계속해서 커지게 되면 \(i(x)\)는 점점 작아지며 0에 가까워진다는 사실을 그래프로부터 확인할 수 있다. 이 현상 또한 무한대 기호를 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있을 것이다.

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}i(x)=0 $$

이러한 현상들은 모두 무한 극한으로써 정의할 수 있다.

무한 극한 (1)

\(x\)가 어떤 값에 가까워질 때 함숫값이 한없이 커지거나 작아지는 경우이다.

실수 \(a\)와 함수 \(f\)에 대해, \(x\)가 \(a\)에 한없이 가까워질 때 \(f(x)\)가 한없이 커진다면 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 양의 무한대로 발산한다고 하고, 기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty $$

여기에서 무한대 기호인 \(\infty\)는 엄청나게 큰 어떤 “수”가 아니라 \(f(x)\)가 커지고 있는 “상태”를 나타내는 기호이다. 따라서 위 등식은 “좌변이 무한대라는 엄청 큰 수와 같은 것”이라고 해석해서는 안 되고, 그냥 “\(x\)가 \(a\)로 갈 때 \(f(x)\)는 한없이 커진다”는 뉘앙스로 이해해야 한다. 함숫값이 한없이 작아지는 경우는 다음과 같이 정의하고 쓴다.

실수 \(a\)와 함수 \(f\)에 대해, \(x\)가 \(a\)에 한없이 가까워질 때 \(f(x)\)가 (음의 값으로) 한없이 작아진다면 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 음의 무한대로 발산한다고 하고, 기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty $$

\(x\)가 한 쪽에서 \(a\)로 가까워지는 경우에 대해서도 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \lim_{x\rightarrow a-}f(x)=\pm\infty\qquad\lim_{x\rightarrow a+}f(x)=\pm\infty $$

예를 들어, 함수 \(y=1/x\)에 대해 다음이 성립한다.

$$ \lim_{x\rightarrow0+}\frac{1}{x}=\infty\qquad\lim_{x\rightarrow0-}\frac{1}{x}=-\infty $$

무한 극한 (2)

\(x\) 값이 한없이 커지거나 작아질 때 함숫값이 어떤 값에 가까워지는 경우이다.

함수 \(f\)에 대해, \(x\)가 한없이 커질 때 \(f(x)\)가 어떤 실수 \(L\)에 한없이 가까워진다면 \(f(x)\)는 \(x\)가 양의 무한대로 갈 때 \(L\)에 수렴한다고 하고, 기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L $$

이번에도 마찬가지로 \(x\rightarrow\infty\)는 \(x\)가 무한대에 가까워진다는 뜻이 아닌, 그냥 \(x\)가 한없이 커지는 상태를 의미한다. \(x\)가 음의 값으로 한없이 작아지는 경우에 대해서도 다음과 같이 정의할 수 있다.

함수 \(f\)에 대해, \(x\)가 (음의 값으로) 한없이 작아질 때 \(f(x)\)가 어떤 실수 \(L\)에 한없이 가까워진다면 \(f(x)\)는 \(x\)가 음의 무한대로 갈 때 \(L\)에 수렴한다고 하고, 기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L $$

무한 극한 (3)

이번에는 \(x\)와 함숫값 둘 다 한없이 커지거나 작아지는 경우다.

함수 \(f\)에 대해, \(x\)가 한없이 커질 때 \(f(x)\)도 한없이 커진다면 \(f(x)\)는 \(x\)가 양의 무한대로 갈 때 \(L\)에 양의 무한대로 발산한다고 하고, 기호로는 다음과 같이 쓴다.

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty $$

마찬가지로 다음 기호들도 똑같은 맥락으로 정의할 수 있다.

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=-\infty\qquad\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\infty\qquad\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty $$

예를 들어, 맨 처음 나왔던 함수 \(f(x)=x^2\)에 대해 다음이 성립한다.

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty, \qquad \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\infty $$

함수의 수렴과 발산

함수가 수렴한다는 말은 그 극한값이 (양이나 음의 무한대가 아닌) 하나의 실수로 존재한다는 뜻이고, 그렇지 않은 경우 발산한다고 한다. 앞서 살펴보았던 함수들 중 중 세 개로 예시를 들어 보자.

$$ f(x)=x^2\qquad h(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & (x\geq0) \\ 0 & (x<0) \end{array}\right.\qquad i(x)=\frac{1}{x^2} $$

  1. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}f(x)\), 즉 \(x=0\)에서 \(f(x)\)의 극한값이 0으로 존재하므로 \(f(x)\)는 \(x=0\)에서 수렴한다.
  2. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0-}h(x)=0,\lim_{x\rightarrow0-}h(x)=1\). 즉 \(x=0\)에서 \(h(x)\)의 좌극한과 우극한은 존재하지만 그 값이 서로 달라 극한값, 즉 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}h(x)\)은 존재하지 않는다. 따라서 \(h(x)\)는 \(x=0\)에서 발산한다.
  3. 즉 \(x\)가 0의 왼쪽에서 0에 가까워질 때와 오른쪽에서 가까워질 때 모두 \(i(x)\)의 값은 한없이 커진다. 이를 극한 표기법을 이용하여 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}i(x)=\infty\)와 같이 쓸 수 있지만, 이는 \(i(x)\)가 하나의 값에 가까워지는 것이 아니라 한없이 커지고 있음을 나타내므로 극한값은 존재하지 않는다. 따라서 \(i(x)\)는 \(x=0\)에서 발산한다.
  4. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}i(x)=0\), 즉 \(x\)가 한없이 커질 때 \(i(x)\)는 0에 한없이 가까워지므로 \(x\)가 무한대로 커질 때 \(i(x)\)의 극한값은 0으로 존재한다. 따라서 \(x\)가 무한대로 커질 때 \(i(x)\)는 수렴한다.

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