6. 함수의 연속(Continuity of a Function)과 사잇값 정리(Intermediate Value Theorem)

함수의 연속의 정의

연속의 정의와 직관적 의미

앞으로 미적분학을 하면서 함수의 그래프를 그리고 분석할 일이 많아지게 될 텐데, 이때 그래프와 관련된 가장 기본적이면서 중요한 개념이 그래프가 끊겨 있느냐 연결되어 있느냐에 관한 것이다. 예를 들어 아래와 같은 두 함수를 살펴보자.

$$ f(x)=|x|, \qquad g(x)=\frac{1}{x} $$

두 함수의 그래프는 아래와 같다.

\(y=f(x)=|x|\)와 \(y=g(x)=1/x\)의 그래프. \(y=f(x)\)의 그래프는 \(x=0\)에서 끊이지 않고 연결되어 있지만 \(y=g(x)\)의 그래프는 끊겨 있다.

왼쪽이 \(y=f(x)\), 오른쪽이 \(y=g(x)\)의 그래프이다. 그림에서 보다시피 \(f(x)\)의 그래프는 \(x=0\)에서 끊기지 않고 연결되어 있지만, \(g(x)\)의 그래프는 끊겨 있다. 이러한 내용은 미적분에서 굉장히 중요한 개념 중 하나이며, 따라서 우리는 그래프의 끊김 여부를 수학적으로 제대로 정의할 필요성이 생긴다.

어떤 점 \(x=a\)에서 함수 \(f(x)\)의 그래프가 끊기지 않는다는 것은 \(x=a\)에서의 함숫값과 \(x=a\) 주변에서의 값이 거의 일치함을 뜻하고, 다시 말하면 \(x\)가 \(a\)로 가까워질 때의 값이 정확히 \(f(a)\)가 된다는 것으로 이해할 수 있다.

따라서 함수의 극한을 이용해 함수의 연속(continuity)을 다음과 같이 정의할 수 있다.

실수 \(a\)와 \(a\) 근처에서 정의된 함수 \(f(x)\)에 대해

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) $$

가 성립할 때 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 연속(continuous)이라고 한다.

위 정의를 조금 더 자세히 살펴보면, \(f(x)\)가 \(a\)에서 연속이 되기 위해서는 다음과 같이 세 가지 조건을 모두 만족시켜야 함을 알 수 있다.

  1. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)\)가 존재하고(즉, \(a\)에서의 좌극한과 우극한이 같고)
  2. \(f(a)\)가 정의되며
  3. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)\)와 \(f(a)\)가 같아야 한다.

위에서 살펴보았듯이 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 연속이라는 말은 직관적으로 \(x=a\)에서 그래프가 끊기지 않는다는 것을 뜻한다. 이를 확장하여 구간에서의 연속, 연속함수의 개념을 정의할 수 있다.

  • 함수 \(f(x)\)가 구간 \(I\)에서 연속이라 함은 해당 구간에 있는 모든 점에서 연속이라는 뜻이다.
  • 함수 \(f(x)\)가 연속함수라 함은 정의역의 모든 점에서 연속이라는 뜻이다.

즉 \(f(x)\)가 구간 \(I\)에서 연속이면 해당 구간에서 그래프가 끊기지 않고, 연속함수이면 정의되는 모든 점에서 그래프가 끊기지 않는다.

왼쪽 연속과 오른쪽 연속

위에서 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}=f(a)\)이면 함수 \(f(x)\)가 연속인 것으로 정의했다. 이 정의에서 좌변을 좌극한과 우극한으로 바꾸면 왼쪽 연속(left continuity)과 오른쪽 연속(right continuity)도 정의할 수 있다.

실수 \(a\)와 함수 \(f(x)\)에 대해

$$ \lim_{x\rightarrow a-}f(x)=f(a) $$

가 성립할 때 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 왼쪽 연속(left continuous)이라고 하고,

$$ \lim_{x\rightarrow a+}f(x)=f(a) $$

가 성립할 때 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 오른쪽 연속(right continuous)이라고 한다.

정의에 의해 \(x\)가 \(a\)에서 연속이기 위한 필요충분조건은 \(a\)에서 왼쪽 연속임과 동시에 오른쪽 연속인 것이다.

예를 들어 다음과 같이 두 함수

$$ h_1(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & (x\leq0) \\ 1 & (x>0) \end{array}\right., \qquad h_2(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & (x<0) \\ 1 & (x\geq0) \end{array}\right. $$

를 살펴보자. 각각의 그래프는 아래와 같다.

\(y=h_1(x)\)와 \(y=h_2(x)\)의 그래프. \(x=0\)에서 \(h_1(x)\)는 왼쪽 연속이고, \(y=h_2(x)\)는 오른쪽 연속이다.

\(x=0\)에서 이 두 함수의 좌극한은 모두 0이고, 우극한은 모두 1임을 그림으로부터 알 수 있다. 이때

$$ h_1(0)=0=\lim_{x\rightarrow0-}h_1(x) $$

이므로 \(h_1(x)\)는 0에서 왼쪽 연속,

$$ h_2(0)=1=\lim_{x\rightarrow0+}h_2(x) $$

이므로 \(h_2(x)\)는 0에서 오른쪽 연속임을 확인할 수 있다.

불연속의 종류

함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 연속이 아닐 때 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 불연속(discontinuous)이라고 한다. 직관적으로 \(x=a\)에서 함수가 불연속이라는 것은 그 곳에서 그래프가 끊어져 있다는 것을 의미하며, 불연속인 점은 그래프가 끊어져 있는 형태에 따라 네 가지로 나눌 수 있다.

제거 가능 불연속

제거 가능 불연속(removable discontinuity)이란 말 그대로 \(x=a\)에 적당한 함숫값을 부여함으로써 불연속을 제거할 수 있는 점을 말한다. 다음 함수를 살펴보자.

$$ i(x)=\left\{\begin{array}{ll} x+1 & (x\neq1) \\ 3 & (x=1) \end{array}\right. $$

아래 그림에서 보이는 것과 같이 \(i(x)\)는 \(x=1\)에서 불연속이다.

\(y=i(x)\)의 그래프. \(x=1\)에서 불연속이지만, \(i(1)=2\)가 되도록 다시 정의하면 이 점에서 불연속을 없앨 수 있다.

하지만 함수의 형태가 원래 일차함수 \(y=x+1\)에서 점 하나만 밖으로 튀어나와 있는 형태이기 때문에, \(i(1)=2\)로 재정의함으로써 \(x=1\)에서의 불연속을 없앨 수 있다.

비약 불연속

비약 불연속(jump discontinuity)이란 \(x=a\)에서 비약(jump)이 일어나는 형태를 말한다. 왼쪽/오른쪽 연속을 이야기할 때 다루었던 \(h_1(x), h_2(x)\)나 다음 함수 등을 포함한다.

$$ j(x)=\left\{\begin{array}{ll} x & (x<0) \\ x+1 & (x\geq0)\end{array}\right. $$

\(y=j(x)\)의 그래프. \(x=0\)에서 비약이 일어나 그래프가 끊어지는 형태이므로 \(x=0\)에서 비약 불연속이다.

그래프에서 알 수 있듯이 \(x=0\)에서 비약이 일어나 그래프가 끊어져 불연속이 된다. 제거 가능 불연속이 있는 함수와 달리, \(j(x)\)에서는 \(x=0\)에서 함숫값을 재정의함으로써 \(x=0\)에서의 불연속을 없애는 것이 불가능하다.

무한 불연속

무한 불연속(infinite discontinuity)은 \(x\)가 \(a\)의 왼쪽이나 오른쪽에서 올 때 함숫값이 음이나 양의 무한대로 발산하는 경우이다. 예시로는 다음 함수가 있다.

$$ k(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & (x\leq0) \\ 1/x & (x>0) \end{array}\right. $$

\(y=k(x)\)의 그래프. \(x=0\)에서의 좌극한은 존재하지만 오른쪽에서 올 때 양의 무한대로 발산한다.

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0+}k(x)=\infty\)이므로 \(k(x)\)는 \(x=0\)에서 무한 불연속을 갖는다.

진동 불연속

진동 불연속(oscillating discontinuity)은 \(x\)가 \(a\)에 가까워질 때 함숫값이 진동하는 경우이다. 5편에서 살펴본 함수

$$ l(x)=\sin\frac{1}{x} $$

가 여기에 해당한다. 이 함수는 \(x=0\) 근처에서 함숫값이 -1과 1 사이를 무한히 왔다갔다하며 진동하여 극한값을 갖지 않고, 이 경우 진동 불연속을 갖는다고 한다.

\(y=\sin(1/x)\)의 그래프. \(x=0\)의 근처에서 -1과 1 사이를 한없이 왔다갔다하며 진동한다.

연속의 성질

기본 함수들의 연속성

다항, 유리, 무리, 삼각, 지수, 로그함수는 모두 연속함수, 즉 정의역의 모든 점에서 연속이다. 이는 4편에서도 살펴본 성질이며, 모두 엡실론-델타 논법을 이용해 증명할 수 있다.

함수의 사칙연산과 연속성

4편에서 살펴본 극한의 성질을 그대로 이용하면 함수의 연속에 관해서도 비슷한 성질을 유도할 수 있다.

실수 \(a\)에 대해, 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 \(x=a\)에서 연속이면 다음 함수들도 \(x=a\)에서 연속이다.

  1. \(f(x)\pm g(x)\)
  2. 상수 \(c\)에 대해 \(cf(x)\)
  3. \(f(x)g(x)\)
  4. \(g(a)\neq0\)일 때 \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\)

합성함수의 연속성

함수의 연속에 관해 다음 정리가 성립한다.

실수 \(a\)와 두 함수 \(f(x), g(x)\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}g(x)=b\)이고, \(f(x)\)가 \(b\)에서 연속이면

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(g(x))=f(b)=f\left(\lim_{x\rightarrow a}g(x)\right) $$

즉 \(g(x)\)의 극한이 존재하고 \(f(x)\)가 그 극한에서 연속이면 리미트 기호를 \(f\) 안으로 넣을 수 있다. 예를 들어, \(f(x)=e^x\)로 놓고 \(g(x)=x^2-x+1\)로 놓으면 이 정리를 아래와 같이 이용할 수 있다.

$$ \lim_{x\rightarrow 1}e^{x^2-x+1}=e^{\lim_{x\rightarrow 1}(x^2-x+1)}=e^1=e $$

만약 \(g(x)\)가 \(a\)에서 연속이라면 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}g(x)=g(a)\)이므로 \(f(x)\)가 \(g(a)\)에서 연속이면 위 정리에 의해

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(g(x))=f(g(a)) $$

즉 \(f\circ g\)도 \(a\)에서 연속이 된다. 따라서 합성함수의 연속에 대한 다음 정리를 얻는다.

실수 \(a\)와 두 함수 \(f(x), g(x)\)에 대하여 \(g(x)\)가 \(a\)에서 연속이고 \(f(x)\)가 \(g(a)\)에서 연속이면 \(f\circ g\)는 \(a\)에서 연속이다.

일반적으로 우리가 다루는 다항, 유리, 무리, 삼각, 지수, 로그함수는 모두 연속함수이므로 위 정의를 그냥

연속함수의 합성함수는 연속함수이다.

와 같이 활용하기도 한다.

우리가 지금까지 살펴본 내용은 다항, 유리, 무리, 삼각, 지수, 로그함수들의 사칙연산이나 합성으로 이루어진 함수 \(f(x)\)의 정의역의 점 \(a\)에서의 극한을 구하고 싶다면 그냥 \(x\)에 \(a\)만 대입하면 된다는 것을 알려준다.

사잇값 정리

사잇값 정리

가령 우리가 좌표평면에서 두 점 \((0, 0)\)과 \((4, 3)\) 사이를 연속함수의 그래프로 이어보려고 한다고 해보자. 연속함수의 그래프는 끊기면 안 되므로 우리는 \((0, 0)\)과 \((4, 3)\) 사이를 끊기지 않는 곡선으로 이어야 한다. 그렇다면 그 곡선이 \(y=1\)인 곳을 지나가지 않게 할 수 있을까?

두 점 (0, 0)과 (4, 3)을 연속함수의 그래프로 잇는 그림. 그래프가 중간에 끊기면 안 되므로 \(y=1\)인 점을 하나 이상 무조건 지나가야 한다.

시작점이 \(y=0\)인 곳이고, 끝점이 \(y=3\)인 곳이므로 끊기지 않는 곡선으로 잇는다면 어떻게 이어도 그 사이인 \(y=1\)인 곳을 항상 지나게 된다. 사실 이 곡선은 \(y=1\)인 곳뿐만 아니라 \(0<k<3\)인 어떤 \(k\)에 대해서 \(y=k\)인 곳을 하나 이상 무조건 지나야 한다. 이러한 생각을 정리로 나타낸 것이 바로 아래의 사잇값 정리(intermediate value theorem)이다.

함수 \(f(x)\)가 닫힌 구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(f(a)\neq f(b)\)일 때, \(k\)가 \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이의 값이라면 \(f(c)=k\) 되는 \(c\)가 열린 구간 \((a, b)\)에 존재한다.

근의 존재성 증명

사잇값 정리의 가장 대표적인 활용이 함수의 근의 존재성을 증명하는 것이다. 위 정리에서 \(f(a)\)와 \(f(b)\)의 부호가 다르다고 하고, \(k=0\)으로 놓으면 \(f(c)=0\) 되는 \(c\), 즉 방정식 \(f(x)=0\)의 근이 열린 구간 \((a, b)\)에 존재하게 된다.

예제로 삼차함수 \(m(x)=x^3-3x^2-x+5\)가 서로 다른 3개의 실근을 가짐을 증명해 보자.

사잇값 정리를 서로 다른 구간에 세 번 사용하면 되는데, 그러기 위해서는 함숫값의 부호가 서로 다른 점이 많이 필요하다. 우리는 \(m(x)\)의 그래프가 어떻게 생겼는지 모르므로, 우선 몇 개의 값을 대입해보도록 하자.

  • \(m(-2)=-13\)
  • \(m(-1)=2\)
  • \(m(0)=5\)
  • \(m(1)=2\)
  • \(m(2)=-1\)
  • \(m(3)=2\)

즉 \(m(x)\)의 그래프는 아래 표시된 다섯 개의 점을 지난다.

\(y=m(x)\)의 그래프가 지나는 점들. 함숫값이 (-)→(+)→(-)→(+)의 형태로 바뀌므로 사잇값 정리를 총 세 번 적용할 수 있다.

위 그림에서 볼 수 있듯이 함숫값의 부호가 (-)→(+)→(-)→(+)와 같이 변하므로 부호가 변하는 곳마다 사잇값 정리를 아래와 같이 총 세 번 사용할 수 있다.

  • \((-2, -1)\)에서 한 번
  • \((1, 2)\)에서 한 번
  • \((2, 3)\)에서 한 번

예를 들어 \((-2, -1)\)에서 사용한다면, \(-13=m(-2)<0<m(-1)=2\), 즉 0이 \(m(-2)\)와 \(m(-1)\) 사이의 값이므로 \(m(c_1)=0\) 되는 \(c_1\)이 열린 구간 \((-2, -1)\)에 존재한다. 즉 \((-2, -1)\)에 \(m(x)\)의 실근이 하나 존재하게 된다. 마찬가지로 \((1, 2)\)와 \((2, 3)\)에서도 사잇값 정리를 한 번씩 써 주면 각 구간에 실근 \(c_2\), \(c_3\)가 하나씩 존재하므로 \(m(x)\)는 총 세 개 이상의 실근을 갖게 된다. 그런데 \(m(x)\)는 삼차함수이므로 실근은 3개보다 많을 수 없으며, 따라서 \(m(x)\)의 실근은 정확히 3개이다.

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