18. 함수의 오목과 볼록(Concavity), 변곡점(Inflection Point)

함수의 오목과 볼록

함수가 증가하는 양상

아래 두 함수의 그래프를 비교해 보자.

두 증가함수의 그래프. 왼쪽 그래프는 처음에는 가파르게 증가하다가 점점 완만해지고, 오른쪽 그래프는 처음에는 완만하게 증가하다가 나중에 가파라진다.

이들은 모두 증가함수의 그래프이지만, 함수가 증가하는 양상이 조금 다르다. 왼쪽 함수는 처음에는 가파르게 증가했다가 나중에 완만해지지만, 오른쪽 함수는 반대로 처음에는 조금씩 증가했다가 나중에 증가 폭이 커진다. 감소함수의 그래프에서도 마찬가지이다. 이번에는 아래와 같은 두 감소함수의 그래프를 비교해 보자.

두 감소함수의 그래프. 마찬가지로 두 함수는 감소하는 양상이 다르다.

이들도 마찬가지로 감소하는 양상이 다르다. 왼쪽 그래프는 처음에는 완만하게 감소했다가 나중에 가팔라지지만, 오른쪽 그래프는 처음에 확 감소했다가 나중에 완만해진다.

이렇게 같은 증가함수/감소함수이더라도 증가/감소하는 양상은 다르게 나타날 수 있고, 이러한 특징은 그래프에서 확연하게 나타난다. 따라서 우리는 이 직관적인 특징을 수학적으로 정의해볼 필요가 있을 것이다.

오목과 볼록의 정의

위 그림들에서 왼쪽 그래프들만이 가지는 특징이 있다. 바로 그래프가 항상 접선의 아래에 놓인다는 것이다. 아래 그림을 통해 확인해보자.

위 그림들에서 왼쪽 그래프들은 항상 접선의 아래쪽에 놓이게 되고, 이러한 특징을 위로 볼록 또는 아래로 오목이라고 한다.

이러한 특징을 위로 볼록(convex upward) 또는 아래로 오목(concave downward)이라고 한다. 직관적으로 그래프를 위에서(\(y=\infty)\) 봤을 때 볼록한 모양이고, 아래에서(\(y=-\infty)\) 봤을 때 오목한 모양이므로 이러한 이름이 붙여지게 되었다.

반대로 오른쪽 그래프들은 항상 접선의 위쪽에 놓이게 된다.

위 그림들에서 오른쪽 그래프들은 항상 접선의 위쪽에 놓이게 되고, 이러한 특징을 아래로 볼록 또는 위로 오목이라고 한다.

이러한 그래프들은 아래에서 봤을 때 볼록 튀어나와 있고, 위에서 봤을 때 오목하게 들어가 있으므로 이러한 특징은 아래로 볼록(convex downward) 또는 위로 오목(concave upward)이라고 한다. 함수의 오목과 볼록의 정의를 정리하면 아래와 같다.

함수 \(f\)와 구간 \(I\)에 대해,

  • \(I\)에서 \(f\)의 그래프가 항상 접선보다 아래에 있을 때 \(f\)를 \(I\)에서 위로 볼록(convex upward), 또는 아래로 오목(concave downward)이라고 한다.
  • \(I\)에서 \(f\)의 그래프가 항상 접선보다 위에 있을 때 \(f\)를 \(I\)에서 아래로 볼록(convex downward), 또는 위로 오목(concave upward)이라고 한다.

우리나라에서는 위로 볼록, 아래로 볼록이라는 용어를 많이 쓰지만, 영미권에서는 concave downward, concave upward를 많이 쓴다. 이 글에서는 앞으로 위/아래로 볼록이라는 용어를 사용하겠다.

이계도함수와 오목, 볼록

17편에서 도함수로부터 원래 함수의 증가, 감소와 극대, 극소점을 알 수 있다는 사실을 살펴보았다. 함수의 증가, 감소를 도함수가 결정한다면 함수의 오목, 볼록은 이계도함수가 결정한다. 우선 아래 그림으로부터 위로 볼록인 함수가 갖는 또다른 특징을 하나 살펴보자.

위로 볼록인 함수가 갖는 또다른 특징을 묘사한 그림. 위로 볼록인 함수의 그래프에서 접선의 기울기는 점차 감소한다.

위 그림은 위로 볼록인 함수의 그래프와 그래프 위의 각 점에서의 접선을 나타낸 것인데… 오른쪽으로 갈 수록 접선의 기울기가 감소한다는 사실을 알 수 있다. 원래 양수였던 접선의 기울기는 점점 감소하다가 0이 되고(극대점), 계속 감소하며 음수가 되어 원래 함수마저 감소하게 만든다. 즉 함수 \(f\)가 접선의 기울기가 감소하면 자연스레 \(f\)는 위로 볼록이 된다. 이때 접선의 기울기가 바로 도함수 \(f’\)이므로 접선의 기울기가 감소함수라는 말은 \(f’\)이 감소함수라는 뜻이고, 이는 \(f’\)을 미분한 \(f”\), 즉 \(f\)의 이계도함수가 0보다 작다는 말이다. 따라서 \(f”<0\)이면 \(f\)는 위로 볼록이라는 결론을 얻는다.

아래로 볼록한 함수의 특징을 나타낸 그림. 그래프의 접선의 기울기가 증가하면 자연스레 원래 함수는 아래로 볼록이 된다.

마찬가지로, 함수 \(f\)가 접선의 기울기가 증가하면 자연스레 \(f\)는 아래로 볼록이 된다. \(f\)의 접선의 기울기는 도함수 \(f’\)이므로 \(f”>0\)이면 \(f\)는 아래로 볼록이라는 결론을 얻는다.

지금까지 살펴보았던 사실을 정리하여 나타내면 아래와 같다.

구간 \(I\)에서 두 번 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대해,

  • 모든 \(x\in I\)에 대해 \(f”(x)>0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 아래로 볼록이다.
  • 모든 \(x\in I\)에 대해 \(f”(x)<0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 위로 볼록이다.

변곡점

변곡점의 정의와 예시

함수의 오목, 볼록이 바뀌는 점을 변곡점(inflection point)이라고 한다.

함수 \(y=x^3-3x\)의 그래프와 변곡점. \(x=0\)을 기점으로 이 함수의 오목과 볼록이 바뀌므로 원점은 이 함수의 변곡점이 된다.

위 그림은 함수 \(y=x^3-3x\)의 그래프이다. 그래프에서 확인할 수 있듯이 함수 \(y=x^3-3x\)는 \(x<0\)에서 위로 볼록이고, \(x>0\)에서 아래로 볼록이다. \(x=0\)을 기점으로 오목/볼록이 바뀌므로 원점은 이 함수의 변곡점이 된다.

\(y=\sin x\)의 그래프와 변곡점. \(x=0\)을 기점으로 이 함수의 오목과 볼록이 바뀌므로 원점은 이 함수의 변곡점이다.

위 그림은 함수 \(y=\sin x\)의 그래프이다. 이 함수는 \(x=0\)보다 작은 0의 근처에서 아래로 볼록이고, 0보다 큰 0의 근처에서 위로 볼록이므로 \(x=0\)을 기점으로 오목/볼록이 바뀐다. 따라서 원점은 함수 \(y=\sin x\)의 변곡점이 된다.

변곡점과 이계도함수

어떤 함수 \(f\)가 변곡점 \((a, f(a))\)와 그 근처에서 두 번 미분가능하다고 해 보자. 우리는 앞서 아래와 같은 사실을 살펴보았다.

  • \(f”>0\)이면 \(f\)는 아래로 볼록이다.
  • \(f”<0\)이면 \(f\)는 위로 볼록이다.

가정에 의해 \(f\)는 \(a\)를 기점으로 오목, 볼록이 바뀌고, 위 사실에 의해 함수의 오목, 볼록이 바뀌면 이계도함수 \(f”\)의 부호가 바뀌어야 하므로 \(x=a\)를 기점으로 \(f”\)의 부호가 바뀌어야 한다. 그렇다면 \(x=a\)에서 이계도함수의 값 \(f”(a)\)는 자연스럽게 0이 되어야 할 것 같다. 이는 실제로 성립하는 사실로, 아래와 같이 정리할 수 있다.

함수 \(f\)가 변곡점 \((a, f(a))\)에서 두 번 미분가능하다면 \(f”(a)=0\)이다.

위에서 예시로 든 두 함수 \(y=x^3-3x\), \(y=\sin x\)를 통해 확인해 보자. 우선

$$ y=x^3-3x\Longrightarrow y”=6x $$

이므로 변곡점을 갖는 \(x=0\)에서 이계도함수의 값이 0이 된다. 마찬가지로 두번째 함수에서도

$$ y=\sin x\Longrightarrow y”=-\sin x $$

이므로 변곡점을 갖는 \(x=0\)에서 이계도함수의 값이 0이 된다는 사실을 알 수 있다.

주의할 점은 이 정리의 역은 성립하지 않는다는 것이다. 즉 \(f”(a)=0\)이라고 \(x=a\)에서 항상 변곡점을 갖지는 않는다. 함수

$$ y=f(x)=x^4 $$

을 예시로 들어보자. \(f\)의 이계도함수는

$$ f”(x)=12x^2 $$

이므로 \(x=0\)에서 이계도함수의 값이 0이 된다. 하지만 아래 그래프를 통해 알 수 있듯이 \(f\)는 실수 전체에서 아래로 볼록이므로 변곡점이 존재하지 않는다.

\(y=f(x)=x^4\)의 그래프. 이 함수는 실수 전체에서 아래로 볼록이므로 변곡점이 존재하지 않는다.

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