19. 함수의 점근선(Asymptotes)

우리는 17편18편에서 도함수와 이계도함수가 원함수에 어떤 영향을 끼치는지를 알아보았다. 요약하자면 도함수는 함수의 증가/감소를 결정하고, 이계도함수는 함수의 오목과 볼록을 결정하였다. 그런데 지금까지 이렇게 살펴본 것들은 사실 모두 함수의 그래프를 그리기 위한 빌드업이다.

함수의 그래프를 잘 그리려면 몇 가지 디테일을 잡아야 하는데, 이들 중 하나가 바로 이번 글에서 살펴볼 점근선이다. 이번 글에서는 함수의 점근선을 수학적으로 어떻게 정의하고 구하는지에 대해서 살펴볼 것이다.

함수의 점근선의 정의?

함수의 점근선은 “한없이 가까워지는 선”이라는 사실은 다들 잘 알고 있을 것이다. 이는 굉장히 직관적인 정의가 될 수 있겠지만, 수학에서는 이렇게 두리뭉실한 정의를 매우 불편해한다. 따라서 우리는 점근선을 수학적으로 정의하기 위해 “한없이 가까워진다”는 표현을 명확한 수식으로 나타낼 것이다.

수직 점근선(vertical asymptotes)

아마 우리가 가장 흔히 알고 있는 수직 점근선은

$$ y=\frac{1}{x} $$

의 점근선일 것이다.

함수 \(y=1/x\)의 그래프와 수직 점근선. 이 함수의 수직 점근선은 \(y\)축이다.

이 함수는 보다시피 \(x\)가 0에 가까워질 때 \(y\)축에 한없이 가까워지기 때문에 \(y\)축, 또는 직선 \(x=0\)을 수직 점근선으로 가진다. 여기서 중요한 점은 \(x\)가 0으로 가까워질 때 함숫값의 경향성이다. \(x\rightarrow0\)일 때 그래프가 직선 \(x=0\)에 한없이 가까워지려면 함숫값이 필연적으로 \(\pm\infty\)로 발산해야 한다.

이로부터 일반적으로 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)를 수직 점근선으로 가지려면 \(x\rightarrow a\)일 때 \(f(x)\rightarrow\pm\infty\)이어야 한다는 사실을 알 수 있다. 아래는 함수의 수직 점근선의 정의이다. 수직 점근선의 실제 정의는 \(x\rightarrow a-\), \(x\rightarrow a+\)일 때도 포함한다.

함수 \(f(x)\)가 실수 \(a\)에 대해

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\pm\infty, \qquad \lim_{x\rightarrow a-}f(x)=\pm\infty, \qquad \lim_{x\rightarrow a+}f(x)=\pm\infty $$

중 하나 이상을 만족한다면 직선 \(x=a\)를 함수 \(f\)의 수직 점근선(vertical asymptote)이라고 한다.

예시

유리함수

$$ y=\frac{x+1}{x^2+x-6} $$

의 수직 점근선들을 찾아 보자. 이를 위해서는 함숫값이 양/음의 무한대로 발산하게 되는 \(x\)값들을 찾아야 하는데, 직관적으로도 이러한 값들은 웬만하면 분모가 0이 되는 값들이라는 사실을 알 수 있다. 분모를 인수분해하면

$$ y=\frac{x+1}{(x+3)(x-2)} $$

가 되므로, 분모가 0이 되는 값은 \(x=-3, 2\)이다. 따라서 이 함수의 수직 점근선은

$$ x=-3, \qquad x=2 $$

이다.

함수 \(y=\frac{x+1}{x^2+x-6}\)의 그래프와 점근선. 함수의 점근선은 보통 분모가 0이 되는 \(x\)값에서 나타나며, 이 함수에서는 \(x=-3, x=2\)가 점근선이 된다.

수평 점근선(horizontal asymptotes)

위에서 살펴보았던 함수

$$ y=\frac{1}{x} $$

는 수평 점근선도 가지고 있다. 이 함수의 수평 점근선은 \(x\)축, 또는 직선 \(y=0\)이며, 그 이유는 \(x\)값이 한없이 커지거나 작아질 때 함숫값이 0에 한없이 가까워지기 때문이다.

함수 \(y=1/x\)의 그래프와 수평 점근선 \(y=0\). 이 직선이 이 함수의 점근선이 되는 이유는 \(x\)가 한없이 커지거나 작아질 때 함숫값은 0에 한없이 가까워지기 때문이다.

앞서 수직 점근선을 다룰 때와 마찬가지로 이번에도 극한의 개념이 들어가야 하는데, 대신 이번에는 \(x\rightarrow\pm\infty\)일 때 함숫값의 경향성을 본다. \(x\rightarrow\pm\infty\)일 때 함숫값이 어떤 값 \(a\)로 수렴하면 직선 \(y=a\)를 원 함수의 수평 점근선이라고 한다. 보다 정확한 정의는 아래와 같다.

함수 \(f(x)\)가 실수 \(b\)에 대해

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=b, \qquad \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=b $$

중 하나 이상을 만족한다면 직선 \(y=b\)를 \(f\)의 수평 점근선(horizontal asymptote)이라고 한다.

예시

함수

$$ y=\frac{x}{e^x} $$

의 수평 점근선들을 찾아 보자. 수직 점근선과 달리 수평 점근선은 \(x\rightarrow\infty\), \(x\rightarrow-\infty\)로 갈 때 극한값이 있다면 각각 하나씩 생기는 것이기 때문에 많아야 두 개밖에 생길 수 없다.

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^x}=0, \qquad \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{e^x}=-\infty $$

이므로 이 함수의 수평 점근선은 \(y=0\)으로 한 개이다.

함수 \(y=x/e^x\)의 그래프와 점근선. \(x\rightarrow\infty\)일 때 함수의 극한값이 0이므로 이 함수는 \(y=0\)을 수평 점근선으로 갖는다.

경사 점근선(slant asymptotes)

아래 그림은 함수

$$ y=\frac{x^3-1}{x^2} $$

의 그래프와 직선 \(y=x\)를 한 평면 위에 그린 것이다.

함수 \(y=\frac{x^3-1}{x^2}\)의 그래프와 직선 \(y=x\). 함수의 그래프는 직선에 한없이 가까워지므로 직선 \(y=x\)는 이 함수의 점근선이다.

그림으로 보았을 때는 직선 \(y=x\)가 이 함수의 점근선이 되는 것 같아 보인다. 하지만 이 직선은 수평선이나 수직선이 아니므로 “함수가 직선 \(y=x\)에 한없이 가까워진다”는 말을 수학적으로 따로 정의할 방법이 필요하다. 마찬가지로 극한을 사용하는데, 원함수

$$ y=\frac{x^3-1}{x^2} $$

가 직선 \(y=x\)에 한없이 가까워진다면 원함수에서 \(x\)를 뺀 것이 0에 한없이 가까워져야 할 것이다. 즉 극한값

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x^3-1}{x^2}-x\right), \qquad \lim_{x\rightarrow-\infty}\left(\frac{x^3-1}{x^2}-x\right)$$

이 0이 되어야 한다는 것이다. 실제로

$$ \frac{x^3-1}{x^2}-x=\frac{-1}{x^2} $$

이므로 \(x\rightarrow\pm\infty\)로 갈 때의 극한값이 0이 된다.

위에서 했던 논의롤 통해 우리는 일반적인 경사 점근선에 대한 정의를 할 수 있다.

함수 \(f(x)\)가 직선 \(y=ax+b\)에 대해

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}[f(x)-(ax+b)]=0, \qquad \lim_{x\rightarrow-\infty}[f(x)-(ax+b)]=0 $$

중 하나 이상을 만족한다면 직선 \(y=ax+b\)를 \(f\)의 경사 점근선(slant asymptote)이라고 한다.

다른 형태의 점근선

아래는 함수

$$ y=\frac{x^3-2x^2+3}{x-2} $$

의 그래프와 포물선 \(y=x^2\)을 한 평면 위에 그린 것이다.

함수 \(y=\frac{x^3-3x^2+2}{x-2}\)의 그래프와 포물선 \(y=x^2\). 이 함수는 포물선 \(y=x^2\)를 점근선으로 가진다.

이 함수는 포물선 \(y=x^2\)을 점근선으로 갖는 것 같아 보인다. 실제로

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x^3-2x^2+3}{x-2}-x^2\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3}{x-2}=0 $$

이므로 포물선 \(y=x^2\)는 이 함수의 점근선이 된다.

이처럼 점근선이 굳이 직선일 필요는 없다. 위의 예시처럼 유리함수에서 분자의 차수가 분모보다 2차가 높으면 점근선의 방정식은 이사칙이 된다. 더 나아가서, 분수식의 분모와 분자를 적당히 설정한다면 다양한 형태의 점근선을 만들 수 있다. 예를 들어 함수

$$ y=\frac{(x^2-x)\ln x-1}{x^2-x} $$

는 분자에 (분모)\(\times\ln x\)에 상수가 더해져 있는 형태이므로, 여기에서 \(\ln x\)를 뺀 다음 극한 \(x\rightarrow\infty\)을 취하면 0으로 갈 것이라는 사실을 짐작해볼 수 있을 것이다. 실제로

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{(x^2-x)\ln x-1}{x^2-x}-\ln x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{-1}{x^2-x}=0 $$

이므로 \(y=\ln x\)는 이 함수의 점근선이 된다.

함수 \(y=\frac{(x^2-x)\ln x-1}{x^2-x}\)의 그래프와 점근선 \(y=\ln x\).

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