17. 함수의 증가와 감소, 일계도함수 판정법(First Derivative Test)

함수의 증가와 감소

정의

모두가 알다시피, 아래 함수의 그래프는 오른쪽으로 갈수록 위로 뻗는 우상향 형태의 곡선이다.

$$ f(x)=x^3 $$

\(y=f(x)=x^3\)의 그래프. 이 함수는 그래프가 오른쪽으로 갈 수록 위로 뻗는 증가함수이다.

한편, 아래 함수의 그래프는 오른쪽으로 갈수록 아래로 뻗는 우하향 형태의 그래프이다.

$$ g(x)=\frac{1}{2^x} $$

\(y=g(x)=1/2^x\)의 그래프. 이 함수는 그래프가 오른쪽으로 갈 수록 아래로 뻗는 감소함수의 그래프이다.

그래프가 우상향하는지 우하향하는지는 함수의 그래프에서 가장 중요한 특징 중 하나이다. 따라서 우리는 이들을 함수의 증가, 감소라는 용어로 따로 정의하여 부를 것이다.

함수가 증가한다는 것은 그 그래프가 오른쪽으로 갈 수록 위로 뻗는다는 뜻이다. 오른쪽으로 간다는 것은 \(x\)좌표가 증가함을 뜻하고, 위로 뻗는다는 것은 \(y\)좌표, 즉 함숫값이 증가함을 뜻한다. 따라서 함수의 증가를 아래와 같이 서술할 수 있다.

“함수 \(f\)가 증가한다는 것은 \(x\)값이 늘어날수록 \(f(x)\)의 값도 늘어남을 뜻한다.”

마찬가지로, 함수의 감소는 아래와 같이 서술할 수 있다.

“함수 \(f\)가 감소한다는 것은 \(x\)값이 늘어날수록 \(f(x)\)의 값은 줄어듦을 뜻한다.”

이를 수학적으로 아래와 같이 정의할 수 있다.

함수 \(f\)가 구간 \(I\)에 대해,

  • 임의의 \(x_1, x_2\in I\)에 대해 \(x_1<x_2\)일 때 \(f(x_1)<f(x_2)\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 증가한다(increasing)고 한다.
  • 임의의 \(x_1, x_2\in I\)에 대해 \(x_1<x_2\)일 때 \(f(x_1)>f(x_2)\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 감소한다(decreasing)고 한다.

어떤 함수가 정의역의 모든 점에서 증가하면 증가함수(increasing function)라고 하고, 정의역의 모든 점에서 감소하면 감소함수(decreasing function)라고 한다.

예제

위에서 본 함수 \(f(x)=x^3\)가 실수 전체에서 증가하는 증가함수라는 것을 보여 보자. 물론 아래에서 소개할 판정법을 사용하면 너무 당연한 결과가 되지만… 여기에서는 미분 없이 보여보도록 하자.

\(f\)가 실수 전체에서 증가함을 보이기 위해서는 증가의 정의를 만족한다는 사실을 보이면 되는데, 이를 보이기 위해 \(x_1<x_2\)인 \(x_1, x_2\)를 실수에서 임의로 꺼낸다. 우리는 이렇게 임의로 꺼낸 \(x_1, x_2\)에 대해

$$ f(x_1)<f(x_2)\mathrm{\quad 또는\quad}x_1^3<x_2^3 $$

임을 보이면 된다. 위 식에서 좌변을 이항해 주면

$$ x_2^3-x_1^3>0 $$

임을 보이면 되는데, 이를 위해 우선 좌변을

$$ x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2) $$

와 같이 인수분해해주자. 그러면 가정에 의해 \(x_2-x_1>0\)이므로 \(x_2^2+x_1x_2+x_1^2>0\)인 것만 보이면 된다. 그런데 이는

$$ x_2^2+x_1x_2+x_1^2=\left(x_2^2+x_1x_2+\frac{x_1^2}{4}\right)+\frac{3x_1^2}{4} $$

와 같이 완전제곱해줄 수 있으므로 0보다 크거나 같고,

$$ \left(x_2^2+x_1x_2+\frac{x_1^2}{4}\right)+\frac{3x_1^2}{4}=0\Longleftrightarrow x_1=x_2=0 $$

인데 \(x_1<x_2\)라 했으므로 0은 될 수 없다. 따라서 \(x_2^2+x_1x_2+x_1^2\)는 0보다 클 수밖에 없다. 즉

$$ x_2-x_1>0, \qquad x_2^2+x_1x_2+x_1^2>0 $$

이므로

$$ x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)>0 $$

이 되어 증명이 끝났다.

함수의 증가, 감소와 도함수

함수가 증가하는지 감소하는지 여부를 도함수를 이용해 판별할 수 있다. 직관적으로는

  • 도함수가 양수가 되면 접선의 기울기가 양수가 되어 접선이 우상향하므로 함수의 그래프도 우상향, 즉 증가
  • 도함수가 음수가 되면 접선의 기울기가 음수가 되어 접선이 우하향하므로 함수의 그래프도 우하향, 즉 감소

가 될 것 같다. 이는 실제로 성립하는 사실이며, 이를 정리하여 아래와 같이 진술할 수 있다.

미분가능한 함수 \(f\)와 구간 \(I\)에 대해

  • \(I\)에서 \(f'(x)>0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 증가
  • \(I\)에서 \(f'(x)<0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 감소

증명

평균값 정리를 이용하여 증명할 수 있다. 우선 구간 \(I\)에서 \(f'(x)>0\)이라고 가정해 보자. \(f\)가 \(I\)에서 증가함을 보이기 위해서는 \(I\)에서 임의로 두 수 \(x_1<x_2\)를 뽑고, \(f(x_1)<f(x_2)\)임을 보이면 된다. \(I\)에서 임의로 두 수 \(x_1<x_2\)를 뽑았다고 가정해 보자. 구간 \([x_1, x_2]\)에서 평균값 정리를 사용해주면

$$ f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $$

을 만족하는 \(c\in(x_1, x_2)\)가 존재한다. 그런데 이때 \(c\in I\)이므로 \(f'(c)>0\), \(x_2-x_1>0\)이고, 따라서

$$ f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)f'(c)>0 $$

즉 \(f(x_2)>f(x_1)\)이 되어 \(f\)는 \(I\)에서 증가한다.

구간 \(I\)에서 \(f'(x)<0\)인 경우에도 마찬가지로 \(I\)에서 \(x_1<x_2\)를 뽑고 평균값 정리를 사용해 주면

$$ f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $$

을 만족하는 \(c\in(x_1, x_2)\)가 존재하게 된다. 그런데 이번에는 \(f'(c)<0, x_2-x_1>0\)이 되므로

$$ f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)f'(c)<0 $$

즉 \(f(x_2)<f(x_1)\)이 되어 \(f\)는 \(I\)에서 감소하게 된다.

일계도함수 판정법

앞서 했던 함수의 증가와 감소에 대한 논의는 14편에서 살펴보았던 극대와 극소로까지 연결될 수 있다. 14편에서 함수가 극대 또는 극소가 되는 점에서 미분가능하다면 그 점에서의 미분계수가 0임을 알았다. 그렇다면 그 반대도 성립할까? 즉 어떤 점에서 미분계수가 0이면 그 점에서 무조건 극대나 극소가 될까? 답은 아니다. 예를 들어, 함수 \(f(x)=x^3\)은 \(x=0\)에서 미분계수가 0이지만, 앞서 살펴보았듯이 계속 증가함수가 되므로 어떤 점에서도 극대나 극소가 아니다.

하지만 여기에 조건이 더 추가된다면 어떨까? 예를 들어 함수가 계속 증가하다가 어떤 한 점 \(a\)에서 미분계수가 0이 되고, 그 다음부터 감소하게 된다면 아래 그림과 같이 \(a\)에서 극대가 되겠거니 생각할 수 있을 것이다.

함수의 그래프와 극대점, 그리고 그곳에서의 접선. 함수의 미분계수가 0이 되는 점 근처에서 함수가 증가에서 감소로 바뀐다면 그 점에서 극대가 된다.

마찬가지로 함수가 감소하다가 어떤 점 \(a\)에서 미분계수가 0이 되고, 그 다음부터 증가한다면 그 함수는 \(a\)에서 극소가 된다. 이러한 아이디어를 정리한 것이 일계도함수 판정법이다.

진술

함수의 일계도함수 판정법은 위의 아이디어에서 증가와 감소만 도함수를 이용한 표현으로 바꾼 것이다. 예를 들어 \(x=a\)에서 미분계수가 0이고 그 근처에서 도함수가 양수에서 음수로 바뀐다면 그 함수의 증감은 \(a\)를 기점으로 증가에서 감소로 바뀌는 것이므로 \(a\)에서 극대가 된다. 일계도함수 판정법(first derivative test)의 진술은 아래와 같다.

\(x=a\) 근처에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)의 미분계수 \(f'(a)\)가 0이라고 하자.

  • \(f’\)의 부호가 \(a\) 근처에서 양수에서 음수로 바뀐다면 \(f\)는 \(a\)에서 극대이다.
  • \(f’\)의 부호가 \(a\) 근처에서 음수에서 양수로 바뀐다면 \(f\)는 \(a\)에서 극소이다.

증명

증명은 앞서 했던 도함수의 부호와 증가/감소의 관계를 증명했던 것과 비슷하다. 우선 14편에서 살펴보았던 극대, 극소의 정의를 살펴보자.

정의역이 \(D\)인 함수 \(f\)와 실수 \(a\)에 대해,

  • 모든 \(x\in D\)에 대해 \(f(a)\geq f(x)\)일 때 함수 \(f\)는 \(a\)에서 최대(absolute maximum)라고 하고, \(f(a)\)를 \(f\)의 최댓값(absolute maximum value)이라고 한다.
  • 모든 \(x\in D\)에 대해 \(f(a)\leq f(x)\)일 때 함수 \(f\)는 \(a\)에서 최소(absolute minimum)라고 하고, \(f(a)\)를 \(f\)의 최솟값(absolute minimum value)이라고 한다.

즉 \(f(a)\)가 \(a\) 근처에서의 함숫값들 중 최대가 되면 극대이고, 최소가 되면 극소이다. 이제 \(f'(a)=0\)이고, \(a\) 근처에서 \(f’\)의 부호가 양수에서 음수로 바뀐다고 해보자(반대의 경우에도 똑같이 증명할 수 있다).

\(a\)보다 작은 \(a\) 근처의 임의의 \(x\)에 대해, 구간 \([x, a]\)에서 평균값 정리를 사용해 주면

$$ f'(c)=\frac{f(a)-f(x)}{a-x} $$

를 만족하는 \(c\in(x, a)\)가 존재한다. 이때 가정에 의해 \(f'(c)>0\)이므로

$$ f(a)-f(x)=f'(c)(a-x)>0\Longrightarrow f(a)>f(x) $$

즉 \(f(a)\)는 \(a\)보다 작은 \(a\) 근처에서의 함숫값들보다 크다.

이제 \(a\)보다 큰 \(a\) 근처의 임의의 \(x\)를 하나 잡고, 구간 \([a, x]\)에서 평균값 정리를 사용해 주면

$$ f'(c)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

를 만족하는 \(c\in(a, x)\)가 존재하는데, 가정에 의해 \(f'(c)<0\)이므로

$$ f(x)-f(a)=f'(c)(x-a)<0\Longrightarrow f(a)>f(x) $$

즉 \(f(a)\)는 \(a\)보다 큰 \(a\) 근처에서의 함숫값들보다도 크다. 따라서 \(f(a)\)는 \(a\) 근처의 함숫값들보다 모두 크므로 \(a\) 근처에서 최대, 즉 극대가 된다.

예제

일계도함수 판정법을 이용해 아래와 같은 사차함수가 증가/감소하는 구간과 극대점, 극소점을 찾아보자.

$$ h(x)=\frac{1}{2}x^4-\frac{4}{3}x^3-5x^2+12x $$

이를 위해 \(h\)의 도함수를 구해 주면

$$ h'(x)=2x^3-4x^2-10x+12 $$

이는 아래와 같이 인수분해할 수 있다.

$$ h'(x)=2(x+2)(x-1)(x-3) $$

이제 \(h'(x)\)가 0이 되는 지점인 \(x=-2, 1, 3\)을 기준으로 구간을 아래와 같이 나누어 보자.

$$ (-\infty, -2), \quad (-2, 1), \quad (1, 3), \quad (3, \infty) $$

다음으로는 각 구간에서 \(h'(x)\)의 부호를 확인한다. 예를 들어 \((-\infty, -2)\)에서는

$$ x+2<0, \quad x-1<0, \quad x-3<0 $$

이므로 \(h'(x)<0\)이 된다. 마찬가지로 다른 구간에서 \(h’\)의 부호를 조사해 보면 아래 표와 같다.

구간 \((-\infty, -2)\) \(-2\) \((-2, 1)\) \(1\) \((1, 3)\) \(3\) \((3, \infty)\)
\(h'(x)\) (-) 0 (+) 0 (-) 0 (+)
\(h(x)\) 감소 증가 감소 증가

위 표에 의해, \(h(x)\)는

  • \(x=-2\)에서 도함수의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 극소
  • \(x=1\)에서 도함수의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극대
  • \(x=3\)에서 도함수의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 극소

가 된다. \(h(x)\)의 그래프는 아래와 같다.

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