14. 함수의 최대, 최소, 극대, 극소, 최대최소정리(Extreme Value Theorem)

우리는 7편부터 13편까지 7개의 글에 거쳐 도함수와 미분가능성에 대해 정의하고, 이를 이용해 다양한 함수의 도함수를 구해 보았다. 이번 글부터는 도함수로 할 수 있는 것들에 대해 이야기해 보려고 한다.

함수의 최대, 최소, 극대, 극소의 정의

도함수가 가장 많이 활용되는 곳이 함수의 최댓값이나 최솟값을 구하는 것이다. 이 글에서는 함수의 최대, 최소와 이에 따라 나오는 개념인 극대, 극소를 정의하고, 이들을 구하는 데 도함수가 어떻게 활용되는지 살펴볼 것이다.

최대와 최소

함수의 최대와 최소는 아래와 같이 정의된다.

정의역이 \(D\)인 함수 \(f\)와 실수 \(a\)에 대해,

  • 모든 \(x\in D\)에 대해 \(f(a)\geq f(x)\)일 때 함수 \(f\)는 \(a\)에서 최대(absolute maximum)라고 하고, \(f(a)\)를 \(f\)의 최댓값(absolute maximum value)이라고 한다.
  • 모든 \(x\in D\)에 대해 \(f(a)\leq f(x)\)일 때 함수 \(f\)는 \(a\)에서 최소(absolute minimum)라고 하고, \(f(a)\)를 \(f\)의 최솟값(absolute minimum value)이라고 한다.

영어 용어 absolute maximum/minimum을 global maximum/minimum으로 쓰기도 한다. 이 정의에서 주의 깊게 살펴볼 점은, 함수의 최댓값이나 최솟값이 없는 경우가 있을 수 있다는 것이다. 우리에게 친근한, \(x\neq0\)에서 정의된 유리함수

$$ y=f(x)=\frac{1}{x^2}\tag{1} $$

을 예로 들어 보자. (1)의 그래프는 아래 그림과 같다.

\(y=1/x^2\)의 그래프. 이 함수는 최댓값과 최솟값이 존재하지 않는다.

이 함수는 \(x\rightarrow0\)일 때 함숫값이 무한대로 커지므로, 아무리 큰 수를 잡아도 그것보다 큰 수가 함숫값으로 존재하기 때문에 최댓값이 존재하지 않는다. 더욱 자세하게는 \(a\neq0\)에 대해 \(f(a)=1/a^2\)이 최댓값이라고 가정한다면 \(f(a/2)=4/a^2\) 등 \(f(a)<f(x)\)를 만족하는 정의역의 \(x\)값이 얼마든지 존재하기 때문에 그 정의에 모순이므로 귀류법으로 최댓값이 없음을 보일 수 있다.

\(f\)는 최솟값도 존재하지 않는다. 자세한 증명은 역시나 귀류법을 사용하는데, \(f(a)=1/a^2\)이 최솟값이라고 하면 \(f(2a)=1/4a^2\) 등 \(f(a)>f(x)\)를 만족하는 정의역의 \(x\)값이 얼마든지 있기 때문에 정의에 모순이 되므로 보일 수 있다.

극대와 극소

함수의 극대와 극소는 아래와 같이 정의된다.

정의역이 \(D\)인 함수 \(f\)와 실수 \(a\)에 대해,

  • 모든 \(x\in I\)에 대해 \(f(a)\geq f(x)\)인 \(a\)를 포함한 정의역의 열린 구간 \(I\subseteq D\)가 존재하면 함수 \(f\)는 \(a\)에서 극대(local maximum)라고 하고, \(f(a)\)를 \(f\)의 극댓값(local maximum value)이라고 한다.
  • 모든 \(x\in I\)에 대해 \(f(a)\leq f(x)\)인 \(a\)를 포함한 정의역의 열린 구간 \(I\subseteq D\)가 존재하면 함수 \(f\)는 \(a\)에서 극소(local minimum)라고 하고, \(f(a)\)를 \(f\)의 극솟값(local minimum value)이라고 한다.

예를 들어 함수

$$ y=g(x)=x^3-3x $$

의 극댓값과 극솟값을 아래 그래프에서 확인해 보자.

\(y=x^3-3x\)의 그래프에 극대점과 극소점을 표시한 그림. \(x=-1\)에서 극댓값 2를 가지고, \(x=1\)에서 극솟값 -2를 가진다.

그래프 상으로 보았을 때 극댓값을 가지는 점은 위로 볼록 튀어나온 점이다. 위 그림에서는 열린 구간 \((a, b)\)에서의 함숫값들 중 \(g(-1)\)이 제일 크므로 \(g\)는 \(x=-1\)에서 극댓값 2를 가진다. 반대로 극솟값을 가지는 점은 아래로 볼록 튀어나온 점들로, \((c, d)\)에서의 함숫값들 중 \(g(1)\)이 제일 작으므로 \(g\)는 \(x=1\)에서 극솟값 -2를 가진다. \(g\)의 다른 극댓값/극솟값이나 최댓값/최솟값은 존재하지 않는다.

예제

함수의 최대, 최소, 극대, 극소에 대한 개념이 잡힌 것 같다면 아래 닫힌 구간 \([a, b]\)에서 정의된 함수의 그래프에서 최대점(최댓값을 갖는 점), 최소점(최솟값을 갖는 점), 극대점(극댓값을 갖는 점), 극소점(극솟값을 갖는 점)을 모두 찾아 보자.

닫힌 구간 \([a, b]\)에서 정의된 함수의 그래프. 최대점은 \(J\), 최소점은 \(A\), 극대점은 \(B, D, F, J\), 극소점은 \(E, G\)이다.
이미지 출처: 위키백과
정답은 아래와 같다.

  • 최대점: \(J\)
  • 최소점: \(A\)
  • 극대점: \(B, D, F, J\)
  • 극소점: \(E, G\)

\(x=a\)는 정의역의 맨 왼쪽 끝점이므로 이를 포함하는 정의역 안의 열린 구간을 잡는 게 불가능하고, 따라서 \(A\)는 극소점이 되지 않는다. \(K\)도 같은 맥락으로 극소점이 아니다.

함수의 극값과 도함수

위에서 살펴보았던 \(y=g(x)=x^3-3x\)의 그래프에서, \(g(x)\)가 극값을 갖는 \(x=\pm1\)에서의 접선은 기울기가 0인 수평선임을 알 수 있다. 실제로 이 곳에서의 미분계수를 구해 보면

$$ g'(x)=3x^2-3\Longrightarrow g'(\pm1)=3\cdot1-3=0 $$

이 된다. 직관적으로도 극댓값이나 극솟값을 갖는 점은 위쪽이나 아래쪽으로 볼록 튀어나온 점이므로 그 곳에서의 접선의 기울기는 0이 되어야 할 것 같다. 이는 미분가능한 함수에 대해서 항상 성립하는 성질로, 수학적으로 서술하면 아래와 같다.

함수 \(f\)가 \(x=c\)에서 미분가능하고 극값(local extreme value, 극댓값 또는 극솟값)을 가지면 \(f'(c)=0\)이다.

사차함수의 그래프와 각 극점에서의 접선. 함수가 극점에서 미분가능하다면 그곳에서의 접선의 기울기는 0이다.

증명

\(f\)가 \(x=c\)에서 극댓값을 가진다고 가정하자. 극솟값을 가지는 경우에도 같은 방법으로 증명할 수 있다. 그러면 함수의 극대의 정의에 의해 \(c\)를 포함한 \(f\)의 정의역의 열린 구간 \(I\)가 존재하여 모든 \(x\in I\)에 대해 \(f(c)\geq f(x)\)이다.

한편, \(f\)가 \(c\)에서 미분가능하므로 극한값

$$ f'(c)=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} $$

가 존재한다. 이는 좌극한과 우극한이 같다는 이야기이므로 아래와 같이 쓸 수도 있다.

$$ \lim_{x\rightarrow c-}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\lim_{x\rightarrow c+}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\tag{2} $$

이때, \(x\in I\)이면 \(f(c)\geq f(x)\)이므로

$$ x<c\Longrightarrow\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq0, \qquad x>c\Longrightarrow\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq0 $$

을 만족하고, 따라서

$$ \lim_{x\rightarrow c-}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq0, \qquad \lim_{x\rightarrow c+}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq0 $$

이다. 이를 2와 종합해 보면 좌극한은 0 이상, 우극한은 0 이하인데 두 값이 같아야 하므로 두 값이 다 0일 수밖에 없다. 즉

$$ 0\leq\lim_{x\rightarrow c-}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\lim_{x\rightarrow c+}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq0 $$

에서

$$ \lim_{x\rightarrow c-}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\lim_{x\rightarrow c+}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=0 $$

이고, 따라서

$$ f'(c)=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=0 $$

이다.

최대최소정리

위에서 함수의 최대와 최소에 대해 언급할 때 모든 함수가 항상 최댓값과 최솟값을 가지는 것은 아니라고 했다. 최대최소정리(extreme value theorem)는 연속함수의 최댓값과 최솟값의 존재성을 보장해 주는 정리로, 아래와 같이 쓸 수 있다.

닫힌 구간 \([a, b]\)에서 정의된 연속함수는 항상 최댓값과 최솟값을 가진다.

이를 증명하기 위해서는 상한, 하한, 콤팩트집합과 같은 해석학적 개념이 필요하므로 이 글에서는 증명을 생략하고, 대신 함수의 최댓값과 최솟값을 어떻게 구할 수 있는지 살펴볼 것이다.

최댓값과 최솟값을 구하는 방법: 닫힌 구간 방법

함수 \(f\)가 닫힌 구간 \([a, b]\)에서 정의되었다고 해보자. 만약 \(f\)가 양 끝점 \(x=a, b\)를 제외한 나머지 점에서 최댓값(최솟값)을 갖는다면, 그 점에서 극대(극소)도 된다. 따라서 \(f\)가 최대나 최소가 되는 점이 있다면 이는 양 끝점이거나 극점(극값을 갖는 점)일 것이다.

임계점

\(f\)가 \(x=c\)에서 극값을 갖고 미분가능하다면 \(f'(c)=0\)이다. 반대로 말하면, \(f\)가 극값을 갖는 점은 미분계수가 0인 점과 미분불가능한 점 중에서만 있다. 우리는 이를 \(f\)의 임계점(critical point)으로 정의할 것이다.

\(f\)가 \(c\)에서 미분가능하지 않거나 \(f'(c)=0\)일 때 \(c\)를 함수 \(f\)의 임계점이라고 한다.

따라서 극값을 갖는 점은 임계점 중에서만 있다.

닫힌 구간 방법

지금까지의 결과를 종합해 보면, \(f\)가 최대나 최소가 되는 점이 있다면 그 점은

  1. 정의역 \([a, b]\)의 양 끝점 \(a, b\)
  2. \(f\)의 임계점

중 하나이다. 따라서

  • \(f\)의 최댓값이 존재한다면 그것은 위 점들에서의 함숫값들 중 최대인 것이고,
  • \(f\)의 최솟값이 존재한다면 그것은 위 점들에서의 함숫값들 중 최소인 것이다.

만약 \(f\)가 연속함수라면 최대최소정리에 의해 최댓값과 최솟값이 존재하고, 이는 아래 방법을 통해 구할 수 있다.

닫힌 구간 \([a, b]\)에서 정의된 연속함수 \(f\)에 대해,

  1. \(f(a), f(b)\)
  2. \(f\)의 각 임계점 \(c\)에 대해 \(f(c)\)

중 최대인 것이 \(f\)의 최댓값이고, 이들 중 최소인 것이 \(f\)의 최솟값이다.

이를 닫힌 구간 방법(closed interval method)이라고 한다.

예제

닫힌 구간 \([-1, 2]\)에서 정의된 연속함수

$$ h(x)=x-\sqrt[3]{x} \qquad -1\leq x\leq2 $$

의 최댓값과 최솟값을 구해 보자. 우선 정의역의 양 끝 값에서의 함숫값은

$$ h(-1)=0, \qquad h(2)=2-\sqrt[3]{2} $$

이다. 다음으로는 임계점들을 찾아 줄 건데, \(x\neq0\)일 때 \(h\)의 도함수는

$$ h'(x)=1-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}=\frac{3\sqrt[3]{x^2}-1}{3\sqrt[3]{x^2}} $$

이므로 미분계수가 0이 되는 \(\displaystyle x=\pm\frac{1}{3\sqrt{3}}\)이고,

$$ h'(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\sqrt[3]{x}-0}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}1-\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=-\infty $$

즉 \(x=0\)에서 미분불가능하므로 임계점은 \(\displaystyle x=\pm\frac{1}{3\sqrt{3}}, 0\)이다. 각 임계점에서의 함숫값은

$$ h\left(-\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{3\sqrt{3}}, \qquad h(0)=0, \qquad h\left(-\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)=-\frac{2}{3\sqrt{3}} $$

이므로 우리가 지금까지 구한 값들

$$ h(-1)=0, \quad h\left(-\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{3\sqrt{3}}, \quad h(0)=0, \quad h\left(\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)=-\frac{2}{3\sqrt{3}}, \quad h(2)=2-\sqrt[3]{2} $$

중 가장 큰 것이 최댓값, 가장 작은 것이 최솟값이다. 우리는

$$ \frac{2}{3\sqrt{3}}<\frac{1}{2}<2-\sqrt[3]{2} $$

임을 쉽게 보일 수 있고, 따라서 \(h\)의 최댓값은 \(2-\sqrt[3]{2}\), 최솟값은 \(\displaystyle-\frac{2}{3\sqrt{3}}\)가 된다.

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