17. 함수의 증가와 감소, 일계도함수 판정법(First Derivative Test)

함수의 증가와 감소 정의 모두가 알다시피, 아래 함수의 그래프는 오른쪽으로 갈수록 위로 뻗는 우상향 형태의 곡선이다. $$ f(x)=x^3 $$ 한편, 아래 함수의 그래프는 오른쪽으로 갈수록 아래로 뻗는 우하향 형태의 그래프이다. $$ g(x)=\frac{1}{2^x} $$ 그래프가 우상향하는지 우하향하는지는 함수의 그래프에서 가장 중요한 특징 중 하나이다. 따라서 우리는 이들을 함수의 증가, 감소라는 용어로 따로 정의하여 부를 것이다. 함수가 … Read more

16. 로피탈의 정리(L’Hospital’s Rule)와 코시의 평균값 정리(Cauchy’s Mean Value Theorem)

이 극한값을 구해 보자. $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\sin x}{x^3} $$ 갑자기 웬 극한값이냐는 질문은 넣어 두고, 이를 어떻게 구할 수 있을지 생각해 보도록 하자. 쉽게 떠오르지 않을 건데, 우리가 삼각함수, 특히 사인함수의 극한에 관해 아는 식은 $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1 $$ 정도밖에 없기 때문이다. 놀랍게도 미분을 이용한다면 이 극한값을 구할 수 있다. 이번 글에서 살펴볼 로피탈의 정리는 미분을 … Read more