12. 역삼각함수(Inverse Trigonometric Functions)

이번 글에서는 역삼각함수(inverse trigonometric functions)에 대해 알아볼 것이다. 이는 말 그대로 삼각함수 $$ \sin x, \quad \cos x, \quad \tan x, \quad \csc x, \quad \sec x, \quad \cot x $$ 의 역함수들을 뜻한다. 미적분학 하다 말고 갑자기 웬 역삼각함수냐… 라고 물을 수 있겠지만, 이들은 미적분에서 굉장히 중요한 역할을 하고 있다. 바로 다음 글에서 살펴보겠지만, 역삼각함수의 … Read more

11. 음함수의 미분법과 로그미분법

음함수란? 다음 원의 방정식이 있다. $$ x^2+y^2=1\tag{1} $$ \((0, \pm1)\)과 같이 하나의 \(x\)값에 \(y\)값 2개가 대응되는 경우가 있으므로 이 원은 함수의 그래프가 될 수 없지만, 아래와 같이 두 개의 함수의 그래프를 합친 것으로 나타낼 수는 있다. $$ y=f(x)=\sqrt{1-x^2}, \qquad y=g(x)=-\sqrt{1-x^2}\tag{2} $$ 여기서 (1)과 같이 \(x\)값이 정해지면 \(x\)와 \(y\)에 관한 방정식에 의해 그에 따른 \(y\)값이 정해질 … Read more

10. 연쇄법칙(Chain Rule)

연쇄법칙 소개 우리는 8장에서 기본적인 미분 공식(사칙연산과 미분, \(x^n\)의 도함수)에 대해서 살펴보았고, 9장에서 삼각함수와 지수, 로그함수의 미분에 대해서 알아보았다. 그렇다면 이들을 이용해서 아래 함수들을 미분할 수 있을까? $$ f(x)=\sqrt{x^2+1} \qquad g(x)=\cos(x^2) \qquad h(x)=\ln(\sin x) $$ 위 함수들의 공통점은 두 함수의 합성함수 꼴로 이루어져 있다는 것이다. \(f(x)\)는 \(x^2+1\)과 \(\sqrt{x}\)의 합성이고, \(g(x)\)는 \(x^2\)과 \(\cos x\)의 합성, 그리고 … Read more

9. 초월함수의 미분

8편에서 다양한 미분 공식을 알아봄으로써 웬만한 다항함수, 유리함수, 무리함수를 미분할 수 있게 되었다. 이번 글에서는 초월함수의 미분(삼각함수, 지수함수, 로그함수)을 어떻게 할 수 있는지 알아보도록 하자. 삼각함수의 미분 삼각함수의 기본 공식 삼각함수의 미분공식 유도에 필요한, 고등학교 때 배우는 삼각함수의 기본 공식들이다. 이 글에서는 증명 없이 빠르게 언급만 하고 넘어갈 것이다. 역수 관계, 상제 관계 $$ \csc … Read more

8. 미분 공식(Differentiation Formulas)

가령 우리가 아래 함수의 도함수를 알고 싶다고 해 보자. $$ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $$ 도함수의 정의에 의해 $$ f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{[(x+h)/\sqrt{(x+h)^2+1}]-[x/\sqrt{x^2+1}]}{h} $$ 가 되는데, 딱 봐도 극한을 계산하기 너무 복잡하고 어려워 보인다. 어찌저찌 이 극한을 계산할 수는 있겠지만, 우리가 앞으로 접할 모든 함수에 대해서 극한으로 도함수를 구하자니 너무 비효율적인 계산이 될 게 뻔하다. 따라서 다양한 함수를 빠르게 미분하기 위해서 … Read more

7. 미분계수, 도함수(Derivative)와 미분가능성(Differentiability)

미분계수 6장에서 함수의 그래프가 끊어져 있느냐 연결되어 있느냐에 대한 개념을 함수의 연속/불연속으로 수학적으로 정의하였다. 미적분에서 그래프가 끊어져 있는지 연결되어 있는지만큼 중요한 개념이 바로 접선의 기울기이다. 우리는 앞으로 접선의 기울기 하나로 함수의 그래프를 그리고 분석할 것이다. 따라서 이 글에서는 접선의 기울기를 수학적으로 어떻게 나타내고 구할 수 있는지에 대해 알아볼 것이다. 예제: 접선의 기울기 구하기 가령 \(x=-1\)에서 … Read more

6. 함수의 연속(Continuity of a Function)과 사잇값 정리(Intermediate Value Theorem)

함수의 연속의 정의 연속의 정의와 직관적 의미 앞으로 미적분학을 하면서 함수의 그래프를 그리고 분석할 일이 많아지게 될 텐데, 이때 그래프와 관련된 가장 기본적이면서 중요한 개념이 그래프가 끊겨 있느냐 연결되어 있느냐에 관한 것이다. 예를 들어 아래와 같은 두 함수를 살펴보자. $$ f(x)=|x|, \qquad g(x)=\frac{1}{x} $$ 두 함수의 그래프는 아래와 같다. 왼쪽이 \(y=f(x)\), 오른쪽이 \(y=g(x)\)의 그래프이다. 그림에서 … Read more

5. 샌드위치 정리(Squeeze Theorem)

샌드위치 정리 예시 진동하는 함수 다음 함수를 살펴보자. $$ f(x)=\sin\frac{1}{x} $$ \(x\)가 0에 가까워지면 \(1/x\)은 양/음의 무한대로 발산하고, 따라서 그 짧은 순간 동안 사인함수의 주기를 무한 번 돌게 된다. 따라서 \(f(x)\)의 그래프는 0 근처에서 -1과 1 사이를 계속 왔다갔다하는 아래와 같은 형태를 띤다. 이때 \(x=0\)에서 \(f(x)\)의 극한은 존재할까? \(x\)가 0에 가까워질 때 \(f(x)\)는 -1과 1 … Read more

4. 극한의 성질

우리는 지금까지 함수의 극한에 대해 살펴보았다. 1편에서는 함수의 극한, 수렴과 발산이 직관적으로 어떤 뜻인지에 대해 다루었고, 2편에서는 엡실론-델타 논법을 통해 극한을 수학적으로 엄밀하게 정의하였으며, 3편에서는 이 정의를 이용하여 다양한 함수의 극한을 살펴보고 증명하였다. 수학자들이 새로운 개념을 정의하면 가장 먼저 하는 것이 이 개념에 대한 가장 기본적인 성질들을 알아보는 것이다. 이 글에서는 가장 기본적인 극한의 성질들에 … Read more

3. 포함-배제의 법칙(Inclusion-Exclusion Principle)과 교란순열(Derangement)

포함-배제의 법칙 포함-배제의 법칙(inclusion-exclusion principle)이란 합사건의 확률을 계산하는 데 쓰이는 법칙이다. 2. 확률의 성질 글에서는 두 개짜리 합사건의 확률인 \(P(A\cup B)\)에 관한 포함-배제의 법칙을 유도하였는데, 이는 일반적으로 \(n\)개짜리 합사건에 대해서도 성립하는 식이다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다. 표본공간 \(\Omega\)의 \(n\)개의 사건 \( E_1, E_2, \cdots, E_n \)에 대하여 $$ \displaystyle\begin{array}{rl} P\left(\bigcup_{i=1}^nE_i\right) & = \sum_{i=1}^nP(E_i) \\ … Read more