3. 엡실론-델타 논법(Epsilon-Delta Argument)을 이용한 극한 증명

극한 증명법 앞선 2. 엡실론-델타 논법(Epsilon-Delta Argument)을 이용한 극한의 정의 글에서는 함수의 극한, 좌극한과 우극한 및 무한 극한을 수학적으로 엄밀하게 정의하였다. 이 글에서는 해당 정의를 이용하여 어떤 함수가 수렴하거나 발산함을 증명해볼 것이다. 수렴하는 경우 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 극한값 \(L\)을 가진다는 사실을 보이기 위해서는 앞선 글의 극한의 정의에 나왔던 조건을 그대로 사용하면 된다. 임의의 양수 \(\epsilon\)에 … Read more

2. 엡실론-델타 논법(Epsilon-Delta Argument)을 이용한 극한의 정의

함수의 극한을 수학적으로 정의하는 법 1. 함수의 극한(Limit of a Function) 글에서는 “\(x=a\)에서의 함숫값”과 “\(x\)가 \(a\)에 가까워질 때 함수가 가까워지는 값”이 다름을 밝혔고, 함수의 극한 개념에 대해 정의하였다. 해당 글에서 소개한 극한의 정의는 다음과 같다. 실수 \(a\)와 \(a\) 근처(\(a\)는 제외 가능)에서 정의된 함수 \(f(x)\)에 대해, \(x\)가 \(a\)에 한없이 가까워질 때 \(f(x)\)가 어떤 실수 \(L\)에 한없이 … Read more

1. 함수의 극한(Limit of a Function)

함수의 극한 예시 여기 하나의 함수가 있다. $$ f(x)=x^2 $$ \(x=0\)에서의 함숫값은 얼마인가? 당연히 0이다. 그렇다면 이번에는 이렇게 물어보자. \(x\)가 0에 가까워질 때, \(f(x)\)는 어떤 값에 가까워지는가? 아래 \(y=f(x)\)의 그래프를 보면 알 수 있듯이, \(f(x)\)는 0에 가까워진다. 이번에는 다음 함수를 살펴보자. $$ g(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & (x=0) \\ x^2 & (x\neq0) \end{array}\right. $$ \(y=g(x)\)의 그래프는 아래 … Read more

2. 확률의 성질

확률의 모든 성질은 공리로부터 유도된다 이 글에서는 확률 공리(Axioms of Probability) 글에서 살펴보았던 확률의 세 가지 공리를 바탕으로 확률이 가지는 여러 가지 성질을 살펴보고 증명한다. 여기서 확률의 성질이란 “확률은 0 이상 1 이하이다”라던가 “공집합의 확률은 0이다” 등 우리가 너무나 당연하게 받아들이고 있는 사실까지 포함한다. 이쯤에서 확률의 세 가지 공리를 다시 한 번 살펴보자. 확률이란 표본공간으로 … Read more

가산집합(Countable Set)과 비가산집합(Uncountable Set) (2)

어떤 집합이 가산, 비가산임을 증명하는 법 1편에서는 가산, 비가산집합과 집합의 가산성에 대한 기본 성질에 대해 알아보았으니, 이제 여러 가지 집합들이 가산인지 비가산인지 살펴보자. 이 글에서 살펴볼 집합은 정수 전체의 집합 \(\mathbb{Z}\), 유리수 전체의 집합 \(\mathbb{Q}\), 그리고 실수 전체의 집합 \(\mathbb{R}\)이다. 가산집합임을 보이는 법 어떤 집합 \(S\)가 가산임을 보이기 위해서는 어떻게 해야 할까? 1편에 나왔던 가산집합의 … Read more

가산집합(Countable Set)과 비가산집합(Uncountable Set) (1)

직관적 의미 가산집합 가산집합(可算集合)이란 무엇일까? 한자 뜻 그대로 해석해본다면 셈하는 게 가능하다, 즉 셀 수 있는 집합이라는 뜻이다. 예를 들어 아래의 집합을 생각해보자. $$ A=\{1, 2, 3, 4, 5\} $$ 집합 \(A\)의 원소는 다섯 개로, 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯 하며 셀 수 있다. 이번에는 적당한 자연수 \(n\)에 대해, 다음 집합을 생각해보자. $$ B=\{1, 2, … Read more

1. 확률 공리(Axioms of Probability)

용어 정의 수학적으로 확률을 정의하기 위해서는 우선 몇 가지 용어들을 정의해야 한다. 실험(experiment): 결과가 미리 정해져 있지 않고 무작위로 결정되는 현상을 관찰하는 과정 시행(trial): 실험을 수행하는 일 표본공간(sample space): 시행의 결과로 얻어지는 모든 결과들의 집합 사건(event): (우리가 관심 있어 하는) 표본공간의 부분집합 확률을 공부할 때 가장 많이 등장하는 시행의 예시가 동전 던지기와 주사위 던지기일 것이다. … Read more